三角比

質問

AB=7,BC=5,CA=4の三角形ABCがある。
また、辺AB上に点Dがあり、
∠ACD＝90°である。

線分ADの長さを求めよ。
また、三角形BCDの外接円の半径Rを求めよ。

なんですけど、どうすれば良いんでしょうか?
ちなみに計算ミスしていなければ
cosA=5/7
でsinA=2√6/7
面積S=4√6
です。

回答No.5

noname#47894 · ベストアンサー

計算量の一番少ないと思われるやり方を示します。

まず∠ACD＝90°なら、AD＝28/5です（これはNo.1、３の回答の通りです。）
>AD=4×cosAではなくて　AD=4/cosAなんですか？
∠ACD＝90°なら斜辺がADですので、最長辺でなければなりません。掛け算すると、短くなってだめだということが直感的にも明らかでしょう。

次に三角形BCDの外接円ですが、
sin∠CDB＝sin∠CDA（ある角のsinと、補角のsinは等しい）
sin∠CDA＝cos∠A　（ある角のsinと、余角のcosは等しい）ですので、
sin∠CDB＝cos∠A＝5/7
です。
三角形BCDの外接円の半径をRについて、
2R＝5/(5/7)=7
よって、R=7/2

もし、∠ADC＝90°なら、円周角の定理より、三角形BDCの外接円の直径がBCとなりますので、R＝5/2です。

なお、回答No.4では、三角形ABCの外接円の半径が求められています。

必ず作図をして、図形的な性質を積極的に利用してください。
数学Aでやる円の性質と、三角比を組み合わせて出題されることが多いです。

お礼

教えてくれてありがとうございました★
式だけでは理解出来ないところもわざわざ日本語で書いていただいた
おかげで理解できました!!

回答No.4

kkkk2222

∠ACD＝90°→　∠ADC＝90°ですね。

AD=4*cosA=4*(5/7)=20/7 です。

外接円の半径R　は、
2R=a/sinA=5/(2√6/7)=35/2√6
R=35/4√6=35√6/24 となります。

回答No.3

fuuraibou0

ＡＮｏ.１さんの回答でよいと思います。なお、補足をすると、余弦定理より、

ＢＣ^2＝ＡＢ^2＋ＡＣ^2－２*ＡＢ＊ＡＣ*cosＡ
５^2＝７^2＋４^2－２*７*４cosＡ　より、　cosＡ＝(４９＋１６－２５)/５６＝５/７

なお、△ＡＣＤ は直角三角形だから、

cosＡ＝ＡＣ/ＡＤ　　∴　ＡＤ＝ＡＣ/cosＡ＝４/(５/７)＝２８/５

また、三平方の定理より、

ＣＤ^2＝ＡＤ^2－ＡＣ^2＝(２８/５)^2－４^2＝(２８^2－２５*１６)/２５
＝３８４/２５

よって、余弦定理より、

ＣＤ^2＝ＢＣ^2＋ＢＤ^2－２*ＢＣ*ＢＤ*cosＢ
３８４/２５＝５^2＋(７－２８/５)^2－２*５*(２１/５)cosＢ

∴　cosＢ＝{２５＋(２１/５)^2－３８４/２５}/４２

また、sin^2Ｂ＋cos^2Ｂ＝１　より、　sinＢ＝√(１－cos^2Ｂ)　に式（１）を代入して、

なお、△ＢＣＤの外接円の半径を Ｒ とすると、正弦定理より、

ＣＤ/sinＢ＝２Ｒ　　∴　Ｒ＝ＣＤ/２sinＢ　に上式を代入すると、

Ｒ＝√(３８４/２５)/{２√(１－cos^2Ｂ)}＝・・・　で求められると思います。

お礼

わざわざありがとうございました！！
とても分かりやすくて解けました♪

回答No.2

seoinage

こんな所に書き込んでる暇があったら　授業後先生に質問して　補習を受け　もっと積極的に勉強に　取り組みなさい！　　そうすれば　もっとよく理解できるようのになります。
　学校の勉強は　社会に出てから　いろんな事に対応するための訓練です。それを怠ると　社会人になってから　今よりもっと苦労することになります。
　腹が立つかと思いますが、それが　一番の解決方法です。

回答No.1

YQS02511

余弦定理で、
cosA=(16+49-25)/56=5/7になりました。
ACDは∠C＝90°の直角三角形なので、cosA=4/ADから、
AD=4/cosA=4÷5/7=4×7/5=28/5となりましたけど・・・。

2R=a/sinAを使うと、Rは出ると思います。

　Sがどうして求めるのかわかりませんでした。

補足

AD=4×cosAではなくて
AD=4/cosAなんですか？