外接円の四角形に関する

質問

数学の問題にて下記が分からないので質問します。

四角形ABCDは円Oに内接し2AB=BC、CD=２、DA=1、cos<(角)ABC=8分の5を満たしている。

この時のACの長さ、円Oの半径、
ABの長さ、BDの長さ、cos<(角)BCDを求めよ。

以上、分からないので解説と解答お願いします。

回答No.1

askaaska

まずは絵を書いてみるといいわ

で、解き方だけど

四角形ABCDは円Oに内接している
ということは、四角形ABCDの向かい合う内角の合計は180度
公式cos(180度-θ)=-cosθより
cos角ADC=-5/8
あとは余弦定理からACの長さを求める

角AOCは角ABCの中心角なので角AOCは角ABCの2倍
2倍角の公式によりcos角AOC=2(cos角ABC)^2-1　　（^2は2乗の意味）
二等辺三角形OACに余剰定理と方程式（解の公式）を用いることで
OA=OCの長さが分かり円Oの半径を求める

三角形ABCにおいてACの長さとcos角ABCと2AB=BCから余剰定理と方程式からABを求める

三角形ABCにおいてAB、AC、BCの長さが分かるので
余剰定理からcos角BACが分かる
ここで三角形ABCと三角形DBCを見る
角BACと角BDCは同じ弧BCに対する円周角なので等しい大きさになる
このことからcos角BAC=cos角DBC
cos角BDCとCD、BCの長さから余剰定理でBDの長さを求める

三角形DBCにおいてCD、BC、BDの長さから余剰定理でcos角BCDを求める

こんな感じね

計算はめんどいので自力でね

お礼

ありがとうございました。