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四面体の問題です。

AB=AC=AD=5 BC=CD=DB=6 である四面体ABCDにおいて、辺BCの中点をMとする。 四面体ABCDに対して、 (1)内接する球の半径 (2)外接する球の半径 (3)どの辺にも接する球の半径 を求めよ。 という問題です。図すら書けないし、解き方も分かりません。 教えて下さい。よろしくお願いします。

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.3

>図すら書けないし、 立体イメージが描けないと図が描けないでしょう。 と言うことなので図を作成して添付しておきます。 この図を参考にして、(1),(2),(3)の半径の求めて見てください。 求め方は他の方がアドバイスしてくれていますので省略しておきます。 わからないところがあれば、そこまでの自力解答を詳細に補足に書いた上で 何処がどう分からなくて行き詰まっているかを補足質問して下さい。

noname#95336
質問者

お礼

図、ありがとうございました。 よく分かりました。

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その他の回答 (2)

  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.2

まず、Aの位置が三角形BCDからみてどのような位置にあるかをイメージできないと難しいでしょう。 三角形BCDは正三角形、AB=AC=ADから対称性から考えてAは△BCDの重心(=外心=内心)Hから△BCDの面に垂直な直線上にあると考えられます。 次に(1)(2)(3)のそれぞれの球の中心がどのような位置に来るか考えて見ましょう。これも対称性から考えると直線AH上に載っていると思われます。 では(1)の問題となる球の中心をX,(2)のものをY,(3)のものをZとします。 (1)四面体ABCDに内接する球の半径 Xは面ABC,ACD,ABD,CDから等距離にある点です。 面BCDからの距離はHXで表せます。では面ABCからの距離はどのようにして出せばよいでしょうか。(対称性からACD,ABDからの距離は等しくなる) その距離は、AX*cos(∠XAM)になります。 cos(∠XAM)は△HAMに対して余弦定理を使えば求めることができます。 後は、 HX=AX*cos(∠XAM)とHX+AXの二つの関係式から答えが得られます。 (2)外接する球の半径 AY=BYこれから求めます。 BYをHYを使って表します。これから得られるAY=BYの式と、AY+HY=AHの式を連立すると答えが得られます。 (3)どの辺にも接する球の半径 BCと接する場所はMになります。 ABと接する場所はどこでしょう。その場所をNとでもすると、 ∠ZNAは直角です。つまり、AN,ZN,AZについて三平方の定理が成り立ちます。 求める球の半径=ZM=ZNの関係から式をつくり以下(1)(2)と同様に解く。

noname#95336
質問者

お礼

よく分かりました。 ありがとうございました。

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  • tenti1990
  • ベストアンサー率46% (48/103)
回答No.1

図はAを頂点にして正四面体みたいな図を書けばよいです。 解き方ですが、 (1)は せっかくMが与えられているのでAMで四面体を切ってΔAMDを考えます。 次に対称性からΔBCDの重心GとAを結んだ線分上に内心があることがわかります。 あとはΔAMDを取り出して平面図形の問題です。 (2)は 今度はAG上でGA=GDとなる点を探せば良いです。 (3)は ?よくわかりません…すいません 最近数学やっていないのでまちがっていたらごめんなさい がんばってください

noname#95336
質問者

お礼

ありがとうございました。 参考になりました。

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