外接球について

質問

球Ｐに内接する四面体ＡＢＣＤがある
ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝a、ＣＤ＝b、∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＤ＝90゜とする
球Ｐの半径をa、bを用いて表せ

という問題で以前質問させていただいて、「△ABCの外心をH、Hを通り△ABCに垂直な垂線GHが「GH=b/2」となる点Gをとると
AG=BG=CG=DGを満たすので点Gは球Ｐの中心となります。(一部抜粋)」という回答を頂いたのですが、なぜこうなるのでしょうか？

回答No.5

info22_

#3,#4です。

A#4の補足について

>CH=(2/3)(√3/2)AC=a/√3がどういう計算をしたのか知りたいです

Hは正三角形△ABCの外心ですから、重心、内心、垂心でもあります。
中学の数学で重心、外心、内心の性質を習い、垂心は高校1年で習います。
少し復習して置いてください。

添付図に詳しいCFの求め方を書いておきました。
図の正三角形は#3の添付図から抜き出して描いたものです。

直角三角形△ACFについて　∠A=60°,∠ACF=30°,∠ACG=90°で
辺の比が　AC:AF:CF=2:1:√3　です。
AC=a なので CF=(√3)a/2 ...(1) となります。

Hは△ABCの重心なので
CH:FH=2:1 ⇒ CH=(2/3)CF ...(2)

(1)に(2)を代入すれば
　CH=a/√3
が出てきます。

#3の補足について

>>前回のNo.2の回答の
>R^2=CG^2=CH^2+GH^2=(1/3)(a^2)+(b/2)^2
>∴R=√{(1/3)(a^2)+(1/4)(b^2)}
>はなにをしてるのですか？

#3の添付図と比較して見てもらえれば、四面体ABCDの外接球の半径Rを求めているだけです。
求め方の詳しい説明は添付図の右側に書き込んであります。
計算式としては単に三平方の定理（中学で習う範囲）を使ってるだけです。

補足の質問は、中学～高校１までの数学の範囲ですので分からなければ、復習しておいて下さい。

お礼

ありがとうございます！最後に√(a^2/3+b^2/4)＝√(3a)/3+b/2でもよいのですか？

回答No.4

info22_

＃３です。

A#3の補足質問について

>前回のNo.2の回答の
R^2=CG^2=CH^2+GH^2=(1/3)(a^2)+(b/2)^2
∴R=√{(1/3)(a^2)+(1/4)(b^2)}
はなにをしてるのですか？

前回の質問の方にも回答しておきました。
直角三角形CHGについて三平方の定理を使って、斜辺CG=外接球の半径Rを求めています。

△GCDは二等辺三角形なのでDG=CG=R、正三角形ABCの外心Hに立てた垂線上にGがあるので
AG=BG=CGです。　これからAG=BG=CG=DG=Rが導かれるので、Gは四面体ABCDの頂点A,B,C,Dから等距離＝Rにあることから、このRが四面体ABCDの外接球の半径で、Gが外接球の中心であることが分かります。
なお、A#3の添付図の右側にもより詳しい計算過程を書いてあります。

お礼

貼り付けミスです
わざわざ回答していただいたのにすみません
CH=(2/3)(√3/2)AC=a/√3がどういう計算をしたのか知りたいです

回答No.3

info22_

前の投稿で回答したときに一応図的に回答してあったと思いますが、
再度、質問されたので、よりわかりやすく図を描き直し、Gが外接球の中心であることの証明と外接球のの半径Rの導出法を書いたものを添付します。

図があればよりわかりやすいかと思います。

お礼

わかりやすいです ありがとうございます

補足

こちらでの方が気づくと思いますのですみませんがついでに質問します
前回のNo.2の回答の
R^2=CG^2=CH^2+GH^2=(1/3)(a^2)+(b/2)^2
∴R=√{(1/3)(a^2)+(1/4)(b^2)}
はなにをしてるのですか？

回答No.2

151A48

Ｈは△ＡＢＣの外心なのでＨＡ＝ＨＢ＝ＨＣ
外心Ｈを通り△ＡＢＣに垂直な直線上の点ＧはＡＧ＝ＢＧ＝ＣＧ
（∵△ＧＨＡ，△ＧＨＢ，△ＧＨＣは全部∠Ｈ＝９０°の合同な三角形）
あとＧＣとＧＤが等しくなるにはＧがＣＤの垂直２等分面上にあればよいので，ＧＨ＝ｂ/2とすればよい。

お礼

なるほど ありがとうございます

回答No.1

rnakamra

外接球の中心はA,B,C,Dの各点から等距離にある点となります。

AとBから等距離にある点の軌跡を考えましょう。
これは線分ABの中点を通りABに垂直な面になります。(ABの垂直2等分面)
同様にB,Cから等距離にある点の軌跡はBCの垂直2等分面となり、C,Dから等距離にある点の軌跡はCDの垂直2等分面となります。
そのほかの組み合わせによる面もありますが、上にあげた3つの面の交点を求めると他の面はすべてその点を通ることが示せます。(これくらいは自分で考えてください)

ABの垂直2等分面とBCの垂直2等分面の交わる点の軌跡は直線となりますが、これは△ABCの外心Hを通り△ABCに垂直な直線となります。(これも少し考えればわかるでしょう)
また、CDの垂直2等分面は△ABCのある面と平衡になります。CDが△ABCのある面の垂線になっているからそのようになります。
CDの垂直2等分面と△ABCのある面の距離はCDの長さの半分、つまりb/2となることは明らかです。よって、Hから伸ばした△ABCの垂線とCBの垂直2等分面の交点をGとするとHG=b/2となります。
Gは3つの垂直2等分面の交点ですの四面体ABCDの外接球の中心となります。

お礼

つまり全ての二つの点の垂直二等分面の交点が外心なんですね ありがとうございます