数学の問題で

質問

一向に解法が思い浮かばず質問しました
回答読んでもよくわかりません
回答者さんのご指摘で回答が必要であれば申し出てください

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

何年か前の東大の問題。この問題は、“少しは点数をやろう”という　東大の「親切な配慮」みたいな問題。
このままでも出来るんだが　ちょっと煩そうだから置き換えてみる。

x＋1＝m、y＋1＝nとすると、0≦m≦2、0≦n≦2となる。
Ｆ＝1-ax-by-axy＝-amn+(a-b)n＋(b＋1)　であるから、先ずmの(一次)関数と見る。
(1)a≧0の時、傾きが負から　0≦m≦2より　Ｆ≧-(a+b)n+(b＋1)となる。
　a+b≧0の時　0≦n≦2より　最小値＝1-2a-b＞0
　a+b≦0の時　0≦n≦2より　最小値＝b＋1＞0

(2)a≦0の時、傾きが正から　0≦m≦2より　Ｆ≧(a-b)n+(b＋1)となる
　a-b≧0の時　0≦n≦2より　最小値＝b＋1＞0
　a-b≦0の時　0≦n≦2より　最小値＝2a-b+1＞0

としたら、楽にできる。
置き換えは、時として“思考と計算”を楽にしてくれる。この事は、憶えておいた方が良い。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の点(a,b)の存在範囲を描いた添付図の訂正と説明です。

座標軸の変数記号がx,yではおかしいです。

図中のx,yの訂正
縦軸：y軸のyをbに訂正
横軸：x軸のxをaに訂正

範囲は3点A(0,1), B(-1,-1), C(1,-1)で囲まれた二等辺△ABCの内部(斜線ハッチ部分、境界を含まず)です。

お礼

ありがとうございます

回答No.2

info22_

1°
f(x,y)=1-ax-by-axy
xをt(ただし-1≦t≦1)に固定して
　f(t,y)=1-at-by-aty=g(y)　(-1≦y≦1)
を考えるとg(y)はyについての直線の方程式なので
最小値はg(1)=1-b-2at または g(-1)=1+bの小さい方　…(A)
である。

2°
最小値は　g(1)、g(-1)　の小さい方である。
小さい方かはaとtの値による。
従って、最小値が正となる為の条件は
g(1)=1-b-2at>0 かつ g(-1)=1+b>0 …(B)

3°
最小値がg(-1)の場合
　g(-1)=1+b>0 から b>-1 …(C)

最小値がg(1)の場合
　g(1)=1-b-2at=h(t)　(ただし-1≦t≦1)　とおくと
　g(1)はt(ただし-1≦t≦1)についての関数と見ることができる。
　h(t)はtについての直線の方程式と見ることができる。

　h(t)はtについての直線の方程式なので、
　h(t)の最小値は h(-1) と h(1)の小さい方　…(D)
　である。
　どちらが小さいかはaの符号により決まる。

従って、h(t)=1-b-2at>0 となるための条件は
　h(t)の最小値が正であることである。
　最小値が正であるための条件は
　h(-1)=1-b+2a>0 かつ　h(1)=1-b-2a>0　…(E)
　である。

以上からf(x,y)の最小値が正である為の条件は
(B)と(E)をまとめて
　b>-1　かつ　2a-b+1>0 かつ 2a+b<1
である。これを満たす点(a,b)の存在範囲は添付図のようになります。