数学の問題について

質問

数学の問題についてです。

x+1/x=3が成立するとき、

x^2+1/x^2 と

2x^4+x^3+x^2+x+2/x^2

の解法を教えてください。

できれば途中式などの詳しい解法お願いします。

回答No.3

staratras

ご質問を
(1)x^2+1/x^2の値を求めよ
(2)2x^4+x^3+x^2+x+2/x^2の値を求めよ　とすると

(1)は対称式ですが、(2)はそうではないので工夫が必要です。
具体的には(2)ではxの0次の項(2)が不足し、2/x^2が余分ですので、前者は足して引き、後者は「あとで考える」ことにします。

(1) x+(1/x)=3　両辺を2乗すると
x^2+(1/x)^2 +2=9 だから　x^2+1/(x^2)=7

(2)
与式=2x^4+x^3+x^2+x+2-2+2/x^2
=x^2(2x^2+x+1+(1/x)+(2/x^2))+(2/x^2)-2
=x^2(2(x^2+1/x^2)+x+(1/x)+1)+(2/x^2)-2
=x^2(2・7+3+1)+(2/x^2)-2
=18x^2+(2/x^2)-2=16x^2+2(x^2+1/x^2)-2

x^2+1/(x^2)=7よりx^4-7x^2+1=0 これをx^2について解くと　x^2=(7±3√5）/2
これとx^2+1/(x^2)=7　を代入すると
与式=16・(7±3√5)/2+2・7-2=56±24√5+12=68±24√5

回答No.2

spring135

対称式の問題です。

x+1/x=3　　　(1)

両辺を2乗して

x^2+2x*(1/x)+(1/x)^2=9

左辺の真ん中の項が定数になるというのが最大の特徴です。

2x*(1/x)＝2

よって

P=x^2+1/x^2=9-2＝7

Q=2x^4+x^3+x^2+x+2/x^2

対称性が崩れていますがうまく近づけて、計算を要領よくやるだけの話です。

Q=2x(x^3+1/x^3)+x^2(x+1+1/x)

x+1/x=3の両辺を3乗して

x^3+3x^2(1/x)+3x(1/x^2)+1/x^3=27

x^3+3(x+1/x)+1/x^3=27

x^3+1/x^3=27-3*3=18

これを用いて

Q=2x(18)+x^2(3+1)=36x+4x^2

対称性は完全に崩れています。x+1/x=3を用いて式の次数を下げます。

x+1/x=3より

x^2=3x-1

Q=36x+4(3x-1)=48x-4

ここまでくるとxを求めて代入するほかありません。

x+1/x=3より

x^2-3x+1=0　解の公式より

x=(3±√5)/2

Q=48*(3±√5)/2-4=68±24√5

回答No.1

Tacosan

x を求めてそれぞれ代入すればいい.