数学の問題です

質問

ある閉曲線上の点aとその閉曲線がホモトープであるとき、閉曲線上の他の点bともホモトープであることを示せ。
という問題の解法を教えていただけないでしょうか。

回答No.2

EinStein1qqq · ベストアンサー

No.1回答者です。

(1)ANo.1で誤りがありました。すいません　<m(__)m>。
>> aとbを結ぶ曲線を、g(t) (t∈[0,1])とします。ただし、g(0)=b, g(1)=aとします。g(t)は与えられた閉曲線の一部としてもよいでしょう。

点bと点aを結ぶ曲線g(t)は「閉曲線の一部としてもよいでしょう」ではなくて、必ず「閉曲線の一部にする」必要があります。そうしないと、h(t,1)が与えられた閉曲線にならないからです。

(2)補足
h(t,1)はabの間の曲線g(t)を1往復半しますので、曲線としては少し気になるところですが、次ののことを確認しておけばばよいと思います。

☆f(t)(t∈[0,1])を閉曲線、p(t)(t∈[0,1])を実数値をとる連続関数としてp(0)=0, p(1)=1とします。この時、閉曲線f(p(t))(t∈[0,1])はf(t)とホモトープである。ここで、t<0、または、t>1のときのf(t)の値はf(t)=f(t-1)が成り立つように拡張しておきます。

このことは、k(t,s)((t,s)∈[0,1]×[0,1])をk(t,s)=f((1-s)t+sp(t))と定義すると、k(t,s)は連続写像で、k(t,0)=f(t), k(t,1)=f(p(t)), k(0,s)=f(0), k(1,s)=f(1)となることより分かります。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.1

EinStein1qqq

点aと閉曲線がホモトープなので連続写像f(t,s) ((t,s)∈[0,1]×[0,1])が存在して，「f(t,0)=a, f(0,s)=a, f(1,s)=a, f(t,1)が与えられた閉曲線」とできます。
aとbを結ぶ曲線を、g(t) (t∈[0,1])とします。ただし、g(0)=b, g(1)=aとします。g(t)は与えられた閉曲線の一部としてもよいでしょう。
そこで、次の写像h(t,s) ((t,s)∈[0,1]×[0,1])をつぎのように定義します：
------------------------------------↓
1/2<s≦1のとき
h(t,s)=g(3t) (0≦t<1/3)
h(t,s)=f(3t-1,2s-1) (1/3≦t<2/3)
h(t,s)=g(3-3t) (2/3≦t≦1)
0≦s≦1/2のとき
h(t,s)=g(3t) (0≦t<2s/3)
h(t,s)=g(2s) (2s/3≦t<4s/3)
h(t,s)=g(3-3t) (4s/3≦t≦1)
------------------------------------↑

この時、h(t,s)は連続写像で、「h(t,0)=b, h(0,s)=b, h(1,s)=b, h(t,1)が与えられた閉曲線」となります。よって、点cと閉曲線はホモトープになります。

イメージは図を書きながら説明すると分かりやすいのですが、簡単に言うと次のようになります。閉曲線を点aで区切って、点bから点aに向かう曲線を閉曲線の前後にくっつけた紐を作ります。そして最初に点aに紐の閉曲線の部分をたぐり寄せて、その後に点bに紐をたぐり寄せるというイメージになります。