大学微積の問題

質問

前回こういった質問を出しました。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4768203.html

回答者の方にはとても感謝しています。
しかし、いまだに疑問点が解消されていません。指摘してくださった部分の正しい解法が思いつきません。
模範解答が知りたいです。どなたか教えていただけないでしょうか？
ちなみにこれは、某大学編入学試験の過去問です。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

まず、連続性については、前回質問（​http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4768203.html​）の＃２さんが指摘された通りです。

＞a > 0 の場合の考察は、結論も根拠も正しい。
＞a = 0 のとき、lim[x→+0] f(x) は収束しない。
＞a < 0 のとき、確かに lim[x→+0] f(x) は発散する

　ここから、ａ＞０のとき連続であることが分かります。

　次に、微分可能性についてですが、連続性の検証から、ａ＞０を前提条件にします。
　ここでは、前回質問の＃１さんが指摘されたように、微分の定義式から微分が可能（定義式の極限が存在する）か否かを見ることになります。
　なお、ｘ≠０とｘ→－０での微分は存在することがすぐ分かると思いますので省きます。
　ｘ→＋０の場合を検証します。

　　f'(0)＝lim(h→+0)(f(h)-f(0))/h
　　　　　＝lim(h→+0)(h^a sin(1/h)-0)/h　（∵ａ＞０）
　　　　　＝lim(h→+0){h^(a-1) sin(1/h)}

　これ以後は、連続性での検証と同様に考えて、
　　ａ＞１のとき　０に収束。　⇒　微分可能。
　　ａ＝１のとき　－１～＋１の間で振動。　⇒　微分不能。
　　ａ＜１のとき　∞に発散。　⇒　微分不能。
となります。
　以上のことから、ｘ→＋０で微分可能なのは　ａ＞１のとき、となります。

お礼

どうもありがとうございます。
正しい答えを知ることができて勉強になりました。

回答No.3

noname#111804

a>0の場合

０≦｜sin（1/x)|≦１より
０≦x^a｜sin（1/x)|≦x^a

より
lim　x^a・sin（1/x)=0
ｘ－－＞０

なので、関数ｆ（ｘ）はｆ（０）で連続ですね。
微分可能でもあるようです。

お礼

ありがとうございます＾＾

回答No.1

noname#111804

この問題は、関数ｆ（ｘ）の微分可能性（連続性）を
答えなさい。と言う問題ですね。

この関数はｘ＝０で面白い、微妙な振る舞いをするので
そこを詳しく調べて答えなさいと言うことのようです。

a=1の場合は
ｆ（ｘ）＝ｘ・sin（１/x)
の関数はよく微積分学の教科書に例題としてよくでています。
なので、その大学の担当教授が一般化してx^aとして
出題したと思われます。

それで、a=1の場合ですが
sin(1/x)=振動するため収束しない。
lim[x--->0]

振幅は
ｙ＝±ｘ
にはさまれるので一見０に収束するようにおもわれますが
”収束しない”が正解だったように記憶しています。

したがってｘ＝０では微分不可能です。

お礼

ありがとうございます。
このような問題は良く出る問題なんですね＾＾