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一方向に一様な速度ｕで流れる流体（水でかまいません）を想像します（2次元でかまいません）。流れ方向と直角になるように長さａの線を引き、線の単位法線ベクトル（流れ方向そのもの）をｎとすると、ａを通って秒当たりに流れ出す流体の流出量速度が、ｕ・ｎａである事は、図を書くまでもなく、わかると思います。・は内積です。 次に流れｕをａに対してθ傾けると、流出速度がｕ・ｎａに「減る」事が、図を書くと本当にすぐわかります。そこで・・・。 (1)閉じた領域Ｒを考えます。 Ｒが任意の流れ（一様でない）ｕの中に置かれた時、Ｒの境界Ｓを通って秒当たりに流れ出す流体の流出量速度は、Ｓの場所ごとに違うでしょうが、局所的に考えれば、さっきと事情は同じです。Ｓの微小部分の長さをｄａで表し、その単位法線ベクトルをｎとすれば、 ｕ・ｎda 式(1) です。そしてｎdaを、ｎda＝ｄｓと表し、3次元の場合には、これに面素ベクトルという名前を与えます。式(1)をＳ全体で集めれば、Ｒからの流出量速度の合計が得られるはずです（ｕの符号を考えれば、流入も込みで）。 ∫ｕ・ｄｓ 式(2) です。式(2)の積分領域は、Ｒの境界Ｓ全体です。式(2)が得られたので、次に・・・。 (2)Ｒを微小矩形で考えます。 Ｒの幅，高さが微小という事から、ｕの偏微分を考慮して式(2)をガリガリ計算すると、それがｄｉｖの定義になっている事がわかります。 ｄｉｖ・ｕ 式(3) しかし式(2)と式(3)は、Ｒの大きさの大小の違いがあるだけで、物理的には同じ事実を表しています。その事を念頭に、式(2)と式(3)をじっと眺めていると、・・・ふと・・・、 ∬(ｄｉｖ・ｕ)ｄｖ＝∫ｕ・ｄｓ 式(4) ・・・に、思い至るはずなんですが・・・(^^；)。式(4)は非圧縮性流体（水でかまいません）の場合、内部で沸いた分だけ出て行くよ、という式です。 ストークスの定理の方は、あまり図的に考えた事はありません。どうしてかと言うと、ガウスの定理があるとストークスの定理は、変形されたガウス定理とみなせるからです。うるさい事を言わなければ、 ガウス定理 ⇔ ストークスの定理 です。 長沼伸一郎「物理数学の直感的方法」は、自分も持っています。確か新版が出ていたはずです。
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- masudaya
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物理数学の直感的方法の5章をご覧ください. rotの視覚的理解方法が書いてあったと思います. divの視覚的説明は上の本もそうですが, たいていの教科書に書かれていると思います. ガウスの定理は,直感的に言うと 体積を包んだ表面からででくる流れを全部足すと 体積内からわき出してている分になる. ということになるかと思います. ストークスの定理は,同じように直感的に言うと 面の端部分で発生する面を回そうとする力(トルク)は 面内の渦を全部足した物である. という感じでしょうか.
- eclipse2maven
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