ストークスの定理の証明

質問

ストークスの定理より，∂q1/∂y=∂q2/∂x→∫r（q1dx＋q2dy）=0（r:roop)と表されるとき，F(x,y)=∫r dFの式より，∂F/∂y＝q2であることを確認せよ。
という問題があったのですが教えていただけないでしょうか?

回答No.1

jcpmutura

F(x,y)=∫_{r}dF

dF=(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy

Fをxで偏微分したものをyで偏微分したものと
Fをyで偏微分したものをxで偏微分したものが等しいとすれば

∂(∂F/∂x)/y=∂(∂F/∂y)/x

だから

∂F/∂x=q1
∂F/∂y=q2

とすれば

∂q1/y=∂q2/x

↓

∫_{r}(q1dx+q2dy)=0(r:roop)

F(x,y)
=∫_{r}dF
=∫_{r}{(∂F/∂x)dx+(∂F/∂y)dy}
=∫_{r}(q1dx+q2dy)
=0