Stokesの定理

質問

Stokesの定理とタイトルにありますが、
おそらく単に積分を理解していないのだと思います。

【Stokesの定理】
∬s(rot(→a)・(→n)dS=∫c(→a)・dr　…（＊）
(→n)は曲面Sの表に立てた単位法線ベクトルとします。

問題は2x+2y+z=2がx軸y軸z軸と交わる点をそれぞれP,Q,Rとして三角形PQRを平面Sとし、
(→a)(r)=(x+2y)(→i)+(y+z)(→j)+(z-x)(→k)
で（＊）の両辺をそれぞれ計算し、等号成立を示せ、というものです。

左辺を計算すると、∬s(rot(→a)・(→n)dS=(-2/3)∬sdSとなります。
ここで回答が、すぐ「=-1」と書いてあるのですが、
なぜそうなるのかがわかりません。
「=-1」の手前までは理解できます。

また、右辺を計算するときに、積分路C=PQ+QR+RPとして、
∫pq(→a)・dr=∫pq{(x+2y)dx+ydy}=-∫[0→1]dy=-1となっているのですが、
これもどうしてそうなるのかがわかりません。
（pqは積分路をインテグラルの右下に書きたかったため小文字にしてみました）
積分路を分けていることと、PQにおいてx+y=1,z=0,dx=-dyということは理解できます。

一部省略をしたりしていて、大変見づらいと思います。
とくに、drは正確にはd(→r)でしょうか。
回答も手間がかかるとは思いますが、どうか助けてください。

回答No.1

noname#21219 · ベストアンサー

まず、∬s(rot(→a)・(→n)dS=(-2/3)∬sdS
についてです。回転の計算は、間違いではありません。∬sdSは、積分の中が定数=1ですよね。
ということは、積分の結果は面積Sになります。
この場合、三角形PQRの面積3/2です。
∫dx=xですよね、それと同じです。∬dS=S
Sは面積分する範囲です。

∫pqa↑・dr↑=∫pq{(x+2y)dx+ydy}=-∫[0→1]dy=-1
についてです。(以下pqを省略させてもらいます。)
∫a↑・dr↑=
∫{(x+2y)(i)+(y+z)(j)+(z-x)(k)}・(dxi＋dyj＋dzk)
=∫(x＋2y)dx＋(y＋z)dy＋(z-x)dz
ただし、i,j,kの直交関係を使いました。
dr↑=dxi＋dyj＋dzkです。
この式に、ご質問にもある『PQにおいてx+y=1,z=0,dx=-dy』と、dz=0を代入します。

その後、∫(x+2y)dx+ydy=∫(1＋y)(-dy)＋ydy
=∫-dy[y=0～1]=-1です。

お礼

早い回答ありがとうございます。

右辺に関しては理解できました。
dr↑=dxi＋dyj＋dzkということに気づきませんでした。
左辺の積分で∬sdSが面積Sになるというのはわかるのですが、
三角形PQRの面積はどう求めるのですか？
単純に一辺の長さなどから計算するのでしょうか。
それとも他にやり方があるのですか？

初歩的な質問をしてしまっているようで申し訳ありません。

回答No.2

noname#21220

三角形PQRの面積の求め方は、
2x+2y+z=2でy=z=0としたらx=1∴(1,0,0)これがP

x=z=0としたらy=1∴(0,1,0)これがQ
x=y=0としたらz=2∴(0,0,2)これがR

あとは三平方の定理で地道に計算すれば三角形の面積は求められます。PQ=√2,PR=√5
∴三角形の高さh=√{(√5)^2-(√2/2)^2}=3/√2
∴S=√2×3/√2×1/2=3/2

ベクトル表記の三角形の面積の求め方として
1/2｜AB↑×AC↑｜というのもあります。×=外積
ABCは三角形

PR↑=(-1,0,2),PQ↑≡(0,-1,2)
∴S=1/2｜PR↑×PQ↑｜
=1/2｜√(2^2＋2^2＋1^2)｜=3/2

お礼

なるほど。わかりました。
何か特別な方法があるのかと思っていましたが、そうでもない感じですね。

問題を見てわかる方もいらっしゃるかもしれませんが、
講義で習う以前に先取りのような形で問題をとかねばならず、
今回のように理解できない点が多くあります。

お二方ともありがとうございました。