ガウス（驚異）の定理について

質問

ガウスの定理の証明（等距離同型ならガウス曲率は保たれる）を卒論でしています。

ここで質問したいのですが内在量についてです。
内在量が第一基本量で表される量というのは理解したのですが、内在量でないものは？と聞かれると・・・？？？？っとなってしまいます。

誰か教えてください。

回答No.3

ojisan7 · ベストアンサー

勝手に一般化して多様体を持ち出しましたが、実際のところ、そこまで考える必要はありません。微分幾何学（ガウスの曲面論）の範囲で充分だと思います。

質問者さんの「内在量、外在量」のイメージは正しくありません。内在量というのは、u,v等の曲面の変数や、第一基本量Ｅ，Ｆ，Ｇのようにその曲面内の量で表せる幾何学的量です。ガウスの曲率Ｋはご存じのように、第一基本量Ｅ，Ｆ，Ｇと第二基本量Ｌ，Ｍ，Ｎを使って、Ｋ＝(EG-F^2)/(LN-M^2)と定義される量ですよね。ガウスが証明したことは、等距離同型の場合、「この曲率が、第一基本量だけを使って表せる」ということです。したがって、等距離同型の場合、ガウス曲率は内在量になるのです。このことは、常識に反し、誰でもびっくりするような「驚異的な」結果ですよね。ところで、第二基本量Ｌ，Ｍ，Ｎの定義は、ご存じのように曲面の接平面に曲面の外部から垂線を引いて定義されますね。曲面からはみ出して定義されるので「外在的」というのです。

また、「スカラー、どうのこうの」ということは関係ありません。幾何学的量であるならば、一般的にテンソルでもよいのです。

お礼

返信ありがとうございます。またお礼が遅くなりすみませんでした。

おかげさまで内在量に対して理解が深まりました。

その中できずいたことがあります。それは基本的なことなのですが、曲面内の量の定義ができていないということです。
どういうものが曲面内の量なのかはイメージつきます。例えば曲面内の面積です。ただこれは今勉強している本に内在量を表す第一基本量で表すことができるからと載ってるからで、本質的に理解できているわけではありません（さらにいうなら第一基本量がなぜ曲面内の量であるかもです。曲面内のベクトルの内積をとることで示される量（第一基本量）が曲面内の量である。これを自分は理解しているではなく知っているという段階です）。

もしよろしければお教え願えないでしょうか。

もしよろしければお教えください。

回答No.2

ojisan7

内在量というのは、ｎ次元の多様体の或る幾何学的量が、（次元を上げることなしに）そのｎ次元多様体で定義される計量によって記述できる場合、その幾何学的量のことをいいます。等距離同型ならばガウスが証明したように、その多様体の基本計量テンソルgijによってガウス曲率が表されます。これは、リーマン幾何学で距離ds^2を不変に保つ変換です。しかし、等距離でない変換の場合はどうでしょうか。そのばあいには、多様体の曲率を表現するには次元を上げなければ成りません。たとえば、次元を一つ上げて、n+1次元の空間に埋め込まれたｎ次元の多様体を考えなければなりません。そのときに、第二基本量が必要になります。この場合、第二基本量は、ｎ次元多様体からはみ出していますので、内在量ではありませんよね。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。
ただ私の数学の理解力が乏しいためきちんと理解することができませんでした。お答えくださったのに大変申し訳ありません。

それと私の質問の仕方がよくありませんでしたので、自分の考えられる範囲で詳しく再度質問したいと思います。

まず次元についてですがR3についてです（多様体について勉強をしたことがないです、お恥ずかしい限り・・・）。

内在的量＝第一基本量で表すことができるもの
外在的量＝第二基本量で表すことができるもの

第一基本量＝Su,Svの内積から導かれるスカラー
第二基本量＝Suu,Suv,Svvと単位法ベクトルの内積から導かれるスカラー
（ただ自分のイメージでは二次元内でのスカラーが内在量、三次元内でのスカラーが外在量ではないのかと思っています。えっとつまり平面より導かれるものと立体から導かれるものというわけ方です。）

～～～～～～以下が質問～～～～～～～
と考えた場合E,F,Gで表せられない量は内在量ではないのか？
ということです。例えばSu＝（a,b,c）とした場合、a^4+b^4+c^4はSu,Svで表すことができない（らしいです）。ではこれは内在量ではないのか？というものです。

私の中ではこれは内在量であるかそうでないか判断できません。
ただ思うのは同じスカラーであってもあるときは内在量であり、あるときは外在量となるのではないか？ということです（当たり前なのかな）。

それとこれは定義づけに対することなのですが、内在量にしても外在量にしても現段階においては一回微分の内積、2回微分と単位法ベクトルとの内積としたとき、この内積で表すことができないスカラーが存在するのではないのか？では内積で表せれることが内在及び外在の定義としては正しくないのではないのか？ということ。

最後にR3においてのスカラーは”内在量かつ外在量＝空集合”、”内在量＋外在量＝R”である（証明はしてないのですが）とおもっているのですが内在量でも外在量でもないスカラーが存在するのではないのか？ということです。

大変わかりにくいかと思いますがよろしくお願いいたします。

回答No.1

N64

外在量でしょうか。
ちょっと違いますが、参考ＵＲＬの記事の中に、
内在的性質・外在的性質の例が出ています。

参考URL：

http://www.komazawa-u.ac.jp/~w3c/research/pdf/ohp20061104.pdf