ガウスの定理

質問

ガウスの定理の証明を眺めて５時間、理解できません。やっていることは面積分⇔体積積分ということですよねぇ。
だれか分かりやすく証明してもらえないでしょうか。
出来れば電磁気学の例を出してどのように使えばいいのかも教えていただけないでしょうか？
例だけでも助かります。
お願いします。

回答No.2

zuri1000 · ベストアンサー

320ｇさん。まだ若いっすよ。
　touch_me_8さん。ガウスの定理ですね。発散定理とか、ガウスの発散定理とか、ガウスの法則積分形とか言うやつの事だよね。大学１年生かな？

　電荷密度とか電束密度から電界を求めたり、コンデンサーの電気容量とかを求めるときに使うやつでしょ。

　数式はここでは書くのもつらいし、読むのもつらいから書きませんよ。
　私も学部時代、なんかの定理の証明で行き詰まった事がよくありましたが、そういう時は、似たようなものが載っている本をたくさん調べました。そのなかに自分が理解のできる方法で証明されているものにたどり着くまで。たどり着く頃にはたいてい始めに理解できなかったものも理解できているんだよな。

今の場合は大学の図書館とかで、ベクトル解析とか電磁気学とか応用解析とかいう類の本で調べて見てください。どの本にも証明が出ています。名前は発散定理で出ていることの方が多分、多いのかな。

お礼

ありがとうございます。
やはりいろいろな本を見た方がいいのですか。
一つの本を徹底的にやる方がいいのではないかと思っていました。

回答No.6

nuubou

ｘ，ｙ，ｚをそれぞれ実数の変数としΔを正の実数としｌ，ｍ，ｎをそれぞれ整数とし
Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］を（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）から（ｌ・Δ＋Δ，ｍ・Δ＋Δ，ｎ・Δ＋Δ）に引いた直線を対角線とする立方体内部の領域とし
Ｓ［ｌ，ｍ，ｎ］をＶ［ｌ，ｍ，ｎ］の表面の領域とし
Ｓ［ｍ，ｎ］≡｛（ｙ，ｚ）｜ｙはｍ≦ｙ／Δ≦ｍ＋１である実数、
ｚはｎ≦ｚ／Δ≦ｎ＋１である 実数｝とし
Ｓ［ｎ，ｌ］≡｛（ｚ，ｘ）｜ｚはｎ≦ｚ／Δ≦ｎ＋１である実数、
ｘはｌ≦ｘ／Δ≦ｌ＋１である 実数｝とし
Ｓ［ｌ，ｍ］≡｛（ｘ，ｙ）｜ｘはｌ≦ｘ／Δ≦ｌ＋１である実数、
ｙはｍ≦ｙ／Δ≦ｍ＋１である 実数｝とし
ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）をＳ［ｌ，ｍ，ｎ］上の点（ｘ，ｙ，ｚ）においてＳ［ｌ，ｍ，ｎ］に垂直でＶ［ｌ，ｍ，ｎ］外部に向かう大きさ１のベクトルとし
Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）を点（ｘ，ｙ，ｚ）におけるベクトルとし
●を内積演算とする

（ｙ，ｚ）を固定すれば
∫（ｌ・Δ～ｌ・Δ＋Δ）ｄｘ・（∂／∂ｘ）・Ｅｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
Ｅｘ（ｌ・Δ＋Δ，ｙ，ｚ）－Ｅｘ（ｌ・Δ，ｙ，ｚ）
従って
∫∫∫（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］ｄｘｄｙｄｚ・（∂／∂ｘ）・Ｅｘ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
∫∫（ｙ，ｚ）∈Ｓ［ｍ，ｎ］ｄｙｄｚ・（Ｅｘ（ｌ・Δ＋Δ，ｙ，ｚ）－Ｅｘ（ｌ・Δ，ｙ，ｚ））
同様にして
∫∫∫（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］ｄｘｄｙｄｚ・（∂／∂ｙ）・Ｅｙ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
∫∫（ｚ，ｘ）∈Ｓ［ｎ，ｌ］ｄｚｄｘ・（Ｅｙ（ｘ，ｍ・Δ＋Δ，ｚ）－Ｅｙ（ｘ，ｍ・Δ，ｚ））
∫∫∫（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］ｄｘｄｙｄｚ・（∂／∂ｚ）・Ｅｚ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
∫∫（ｘ，ｙ）∈Ｓ［ｌ，ｍ］ｄｘｄｙ・（Ｅｚ（ｘ，ｙ，ｎ・Δ＋Δ）－Ｅｚ（ｘ，ｙ，ｎ・Δ））
上式を辺辺加え合わせて
∫∫∫（（ｘ，ｙ，ｚ）∈Ｖ［ｌ，ｍ，ｎ］）ｄｘｄｙｄｚ・ｄｉｖ（Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ））
＝∫（Ｓ∈Ｓ［ｌ，ｍ，ｎ］）ｄＳ・ｎ（ｘ，ｙ，ｚ）●Ｅ（ｘ，ｙ，ｚ）
ただし右辺の積分内においてｄＳをＳ［ｌ，ｍ，ｎ］の無限小分割平面の面積とし（ｘ，ｙ，ｚ）を前記無限小分割平面上の点とする

従ってＶ［ｌ，ｍ，ｎ］においてはガウスの定理が成立する
従って任意の閉曲面の内部にＶ［ｌ，ｍ，ｎ］を敷き詰めてできた立体についてもガウスの定理が成立する
Δを小さくしていけば前記立体の体積積分が前記閉曲面内部の体積積分に限りなく等しくなり前記立体表面の面積分が前記閉曲面の面積分に限りなく等しくなるので前記閉曲面についてもガウスの定理が成立する

「限りなく等しくなる」の証明の骨子：
（１）
ｐを面積Ｓの平面としｎ≡（α，β，γ）をｐの単位法線ベクトルとし
ｐのｙｚ平面への射影の面積をＳｘとし
ｐのｚｘ平面への射影の面積をＳｙとし
ｐのｘｙ平面への射影の面積をＳｚとすると
Ｓｘ＝Ｓ・α，Ｓｙ＝Ｓ・β，Ｓｚ＝Ｓ・γであるから
Ｓ・ｎ＝（Ｓ・α，Ｓ・β，Ｓ・γ）＝（Ｓｘ，Ｓｙ，Ｓｚ）である
Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚをそれぞれ実数とし Ｅ＝（Ｅｘ，Ｅｙ，Ｅｚ）とすれば
Ｓ・ｎ●Ｅ＝Ｅｘ・Ｓｘ＋Ｅｙ・Ｓｙ＋Ｅｚ・Ｓｚである
（２）
ｘ＝ｌ・Δ　（ｌ＝０，±１，±２，±３，・・・）の平面と
ｙ＝ｍ・Δ　（ｍ＝０，±１，±２，±３，・・・）の平面と
ｘ＝ｎ・Δ　（ｎ＝０，±１，±２，±３，・・・）の平面で
前記閉曲面を切断し前記閉曲面上に切断閉曲線を作る
すると前記閉曲面は前記閉曲線で囲まれた曲面で分割される
前記分割曲面をｘｙｚ３方向に前記立体表面上へ射影する
するとほぼ前記射影面が前記立体を構成する立方体のむき出しの面に１：１対応することが分かる
対応しなかった射影の面積の総和はΔを限りなく小さくすれば限りなく小さくなる

ストークスの定理の証明手順：
（１）
（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）－（ｌ・Δ，ｍ・Δ＋Δ，ｎ・Δ＋Δ）が対角線の正方形について証明し
（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）－（ｌ・Δ＋Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ＋Δ）が対角線の正方形について証明し
（ｌ・Δ，ｍ・Δ，ｎ・Δ）－（ｌ・Δ＋Δ，ｍ・Δ＋Δ，ｎ・Δ）が対角線の正方形について証明する
（２）
適当な（ｌ，ｍ，ｎ）で複数の前記正方形をつなぎ任意曲面を近似する
（３）
Δを小さくしていけば両線積分が限りなく等しくなり両面積分が限りなく等しくなることを示す

回答No.5

siegmund

質問文からすると，ガウスの発散定理ですね．
他の方もお書きのように，証明や応用が載っている本はいくらでもあります．
ここで証明や応用を書いても，それらの本と似たような内容で，
式が読みにくく図もろくなものがない，というものになるだけです．

touch_me_8 さんがどこで引っかかっているのか，
具体的に書かれた方がよいでしょう．

私の講義経験では，
(a) 証明以前に，用語や概念があやふやのままである．
(b) 証明の議論の組み立てを理解していない．
(c) 式変形がわからない．
　　特に，式変形が単純な(いつでも成り立つような)ものか，
　　それとも今考えている状況の特殊性故に成り立つのか，
　　そういうことの認識がない．
が理解できない三大原因(？)です．

チェックポイントをあげておきます．
○ 面積分の意味．
○ dS (S はベクトル)とはどういうもの？
　 特に，閉曲面と dS の向きは？
○ div F = lim_{ΔV→0} {∫_S F・dS / ΔV} であること．
○ 下図のようなＡとＢの面積分を加えたとき，ＡとＢの境界からの寄与は
完全にキャンセルすること．

┌─────┐┌─────┐
│　　　　　││　　　　　│
│　　　　　││　　　　　│
│　　Ａ　　││　　Ｂ　　│
│　　　　　││　　　　　│
│　　　　　││　　　　　│
└─────┘└─────┘

上のポイントをチェックしてから，もう一度証明を読み直してみてください．

motsuan さんの
> 気分的には∫(df/dx) dx=f(x)みたいなもんです
はまさにそうです．
この式のある意味での高次元版がガウスの発散定理やストークスの定理です．

> やはりいろいろな本を見た方がいいのですか。
> 一つの本を徹底的にやる方がいいのではないかと思っていました。

入試対策では「一つの本を徹底的」がよく言われるようですが，
今の場合とは目的が違います．
入試では，広い範囲からいろいろな問題が出る中で，
とにかく合格点を取らなければいけません．
したがって，どこか抜けているところがあっても他でカバーしてトータルで
合格点になればよいのです．
あれこれ読みあさって，「あ，これは知らない，大変だ」と焦るよりも，
できるところを確実にというので「一つの本を徹底的」なのでしょう．
今の話は様子が違います．
どうしてもガウスの法則を理解しなければならないのなら，
それこそいろいろな本など見て，比較検討すべきです．
大学ではそういう姿勢が当然要求されています．

回答No.4

motsuan

証明を知りたいのか使い方を知りたいのかわからないのですが
（証明は正しくないですが気分的には∫df/dxdx=f(x)みたいなもんです。
　意味はnikorinさんがおっしゃられているとおりですよね）、
ファインマンの教科書に電荷密度ρが与えれらた系の電場を求める計算では
対称性の良い系では∫Ｅ・dＳ=∫ρdVの左辺でEの値をSの上で
一定になるようにとれるのでその場合は発散定理を使い、
そうでない場合はポテンシャルをもとめて電場をもとめるほうが良いと
使い方についてコメントがあってなるほどと思ったことがあります。
以上参考までに。

回答No.3

nikorin

∫Ｅ・dＳ=∫divＥ・dV ですよね。
式の意味するところをイメージできれば証明もわかることと思います。
Ｅを水の流れとでも思ってください。
左辺は考えている領域の表面からでていく流量を表します。
一方、右辺は考えている領域の微小体積からの「わき出し」を全領域に
わたって足し合わせています。
要するに表面から出て行く流量は全体積からのわき出しと等しいという
ことを上式はいっています。

回答No.1

noname#1281

質問の意味がよく分かりませんが？？

ガウスは、磁束密度　１ｍ四方の中に何本磁力線があるか、たとえば、５００本なら、５００ガウスと記憶してます。