長野県の高校入試問題です

質問

「　１辺の長さが５cmのひし形ＡＢＣＤがあり、対角線ＢＤ＝８cmである。辺ＡＢを１辺とする正三角形ＥＢＡをつくる。さらに、点Ｐを線分ＢＤ上にとって、ＰＡを１辺とする正三角形ＱＰＡをつくり、点ＥとＱ、点ＰとＣを直線で結ぶ。ただし、点Ｐは、点Ｂ、Ｄとは異なる位置にあり、点Ｑは直線ＰＡについて点Ｅと同じ側にあるものとする。点Ｐを、ＥＱ+ＱＰ+ＰＣの長さが最小になるようにとるとき、ＥＱ+ＱＰ+ＰＣの長さを求めよ。　」
答えは　　４+３√３　　とわかっていますが、なぜそうなるのかが解りません。
下手な図で済みませんが、点Ｐは線分ＢＤ上にあります。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

EQ+QP+PCが最小になるのはEQCが一直線になる時です
ECの長さを求めればいいわけです
△AECについて考えます
正三角形QPAの１辺をxとします。また△AECの頂点AからECに垂線をおろしHとすると
△AHPは正三角形の半分なので30°60°90°の直角三角形よりHP=x/2,AH=√3x/2になります
またAP=PCよりPC=x,AC=6（これはAB=5,BD/2=4から）HC=HP+PC=3x/2
△AHCに三平方の定理を使い
AH^2+HC^2=AC^2
(√3x/2)^2+(3x/2)^2=6^2
(3x^2)/4+(9x^2)/4=36
(12x^2)/4=36
3x^2=36
x^2=12
x=2√3になります
これより
HC=(2√3)×(3/2)=3√3
AH=(2√3)×(√3/2)=3
△AEHはAH=3,AE=5よりEH=4になります

以上よりEC=EH+HC=4+3√3--->最小になるEQ+QP+PCの値です

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に、次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

回答No.12

htms42

＃１０です。

出来上がった回答を見れば中学生でもできるようになっているということが言えるようです。
naq0720様の回答では合同の関係を上手く使っています。

でも個別の関係だけでは全体は見えてきません。その関係をつないでいくストーリーが必要です。
それが難しいのです。経験が効いてきます。
質問者様も近いところまでは行っておられたのです。
＃９でnaq0720様が「考え方が逆だ」と言って説明のし直しをされていますが、その部分です。
私も△ＥＡＱ≡△ＡＢＰを一度は確かめています。でもそれをストーリーの中に持ち込むことができなくてややこしい道に入ってしまいました。

合同の関係を見つけることははある一つの図に対して可能です。
でもこの問題を解く場合にはそれを踏まえて△ＡＱＰを動かしてみることが必要になります。普通は動かしてみるとしてもＰＱがＢＤ上に来る時まででしょう。Ｐをその位置からＤの方向に動かしてみようとは考えないでしょう。さらにＰがＤの外側に来るまで（菱形の外まで）動かしてみるというのはなかなか出来ないことです。問題文には「点Ｐは点Ｂ，点Ｄと異なる位置である」と書かれていますからなおさらです。菱形の内部だけと思ってしまいます・・・（この条件は余計だということです）。でもＰを菱形の外まで出してしまう（＃９）ということができなればＥＱの延長線上にＣがあるということを簡単に言うことはできなくなります。
ＥＱＣが直線であるということが言えてない限りＰＱがＥＣ上に乗っている状態を考えることができません。

△ＡＥＱ≡△ＡＢＰまでは中学生でも思いつくかもしれません。その後が難しいのです。
先まで見えていなければこの関係を十分に使うことができないのです。

お礼

皆さんありがとうございました。いろいろなご指摘がありましたが、統一して長野県の公立高校入試で出題されている問題です。数学では必ず１問、出題者の意地とプライドにかけてかどうかは分かりませんが、県内で一人も解けないか数人くらいしか解けないという難問が毎年出題されているようです。それでもここ数年のものを確認しますと、中学で習っているであろうという範囲を超えていないように感じたのですが、今回のものはどうなのかな？という思いでした。皆さんのご回答を総合すると、やはり中学の内容を超えているのでは、という思いを強くしました。少なくとも公立高校の入試にはそぐわない問題だと思います。６月頃になると公立高校の入試解説書が出ますので、確認してみたいと思います。私ごとですがいろいろと立て込んでしまい、満足なご返事も出来ませんでした。お詫びいたします。

回答No.11

tomokoich

NO1です
30分以上かかりました・・バカなもんで・・

深く考えずこの手の問題は１直線になる時が最小、あとの距離の計算は中学生なので三平方の定理を使って解くのが普通かなと考えました。
結構奥が深い問題のようで逆に勉強になりました。質問者さまの疑問を証明しなければダメと言うなら
正直言いますと私もとても公立高校の入試問題とは思えませんでした。

難関私立の入試問題かなにかと思います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.10

htms42

これが高校入試の問題ですか。
「長野県の高校」と書かれていますが少なくとも公立高校ではありませんね。
特殊な進学校ではないでしょうか。

ＥＣの長さを求めればいいという判断も難しいものです。
それができたとしてもＥＣの長さを求めるのが大変です。
中学校であれば長さはピタゴラスの定理を使うことになると思います。
どこの直角三角形を使うのでしょうか。
（私はＢＤ線上、Ｂの外側に∠ＦＡＣ＝６０°となる点Ｆを取って考えました。）

また４＋３√３を求めようとすれば二重混合をはずすことができなくてはいけません。
これは普通の高校生でもむつかしいものです。

ＥＣの長さが求まったとしてもＰＱがＥＣ上に存在できることが証明できていなければいけません。
これはＥＣとＤＢの交点をＲとした時∠ＥＲＡ=６０°であることを示せば可能です。でもややこしいです。
限られた時間にやれと言われても無理な感じがします。

今までの回答を見てもそんなことをやれと中学生に要求しているのだろうかという気になります。
ためしに大学受験を予定している普通の高校生にやらせてみるといいでしょう。

ここに回答を書く人は「問題」を初見で見てから回答が出来上がるまでの時間を書いておくと読んだ人の参考になるのではないでしょうか。初見では必ず試行錯誤の時間が必要になります。
もし３０分以上かかったというのであれば入試問題としては不適当だと言っていいでしょう。
中学生が一時間以内にやるのはむりだと言っていいと思います。
「初見」でなければ話が変わります。
数学を暗記ものとして教え込むというのが塾の腕の見せ所になっているようですから。

お礼

ありがとうございます。

回答No.9

nag0720

＃３、＃６です。

＃７さんへの補足を読みましたが、考え方が逆のような気がします。

点PをECとBDの交点にしたとき、点Qが直線EP上にあることを証明しようとしているようですが、それは難しいちょっと難しいかもしれません。
そうではなく、点Pが直線BD上のどこにあろうと点Qが直線EC上にあることを証明できれば、
点PをECとBDの交点とした場合は、点E,Q,P,Cが一直線上にあることになります。

点Qが直線EC上にあることを証明は＃６でも書きましたが、もう少し詳しく書くと、

直線BD上の点Dの右側に、AF=6となる点Fをとる。
AC=AF=CF=6より△AFCは正三角形

△AEQと△ABPを考えると、
AE=AB、AQ=AP、∠EAQ=∠BAP（どちらも∠BAQに60°を足した角度）
より、△AEQ≡△ABP

同様に、△ACQと△AFPについても、
AC=AF、AQ=AP、∠CAQ=∠FAP（どちらも60°から∠CAPを引いた角度）
より、△ACQ≡△AFP

よって、∠AQE+∠AQC=∠APB+∠APF=180°
となって、点E,Q,Cが一直線になる。
これは、点Pが直線BD上のどこにあっても成立しています。

当然、点PをECとBDの交点とすれば点E,Q,P,Cは一直線上に並ぶことになります。

あとは、＃３でも書くたようにEC=BFなのでBFの長さを求めれば答えが出てきます。

お礼

ありがとうございます。

回答No.8

tomokoich

う～んそういうことでしたか。難しいですね
計算過程はもともと理解していらっしゃったわけですね。
PはBD上と決められているのでEC上にPQがぴったりくっつくように正三角形がおさまっているかということならそのようになるような正三角形の長さを求めたらx=2√3の時だった（その位置がPG=√3のところだった）ということでいいのかと思うのですが・・

この問題長野県のと書かれていたので普通の公立高校の入試問題と思われますのでそこまで考える必要あるのかなと思ったものですから。（NO3さんの考え方がスマートで比較的理にかなっていると思いますが・・）

我が家も現役高校生と中学生がいますのでこの手の問題（昨年は受験生で県立の過去問もよくみましたし）はよく解きましたがそこまで証明も考慮して計算結果を出すのはあったかなあというところです。もしかして上位レベルの高校の独自問題ということですか。

これ以上は私もバカですのでなんとも・・他のお二方の回答を待つほうがよろしいかと・・

お礼

ありがとうございます。

回答No.7

tomokoich

EC上にQPがくるような正三角形APQの１辺をxとしてxを求めたので（NO3さんが回答されているように回転させたものなので）出た結果x=2√3は必然的に正三角形になると思いますが。

お礼

tomokoich さん、kenjokoさん、nag0720 さん、ありがとうございます。私もkenjokoさんのＮＯ２のところまでは考えたのですが、その先で、つまり三角形ＱＰＡの底辺ＱＰが辺ＥＣ上に重なるのか、というところで証明できずにいました。仮定より三角形ＱＰＡは正三角形になるようにするのですが、この三角形の３辺が等しいことを証明するのは無理かなと私の持っている知識では思えたので、３つの角が等しいか、三角形の性質から２つの角がそれぞれ６０度であることが証明できれば、辺ＥＣ上に辺ＱＰが重なる三角形ＱＰＡは正三角形になると言える（相似の証明でしょうか）、とまで考えました。今の中学でどこまで教えているのかはっきりはしませんが、今の参考書を読みますとご回答いただいたもので中学生に納得させるのは難しいような気がするのですが、どうなのでしょうか？できれば、今の中学でどこまでやっているのかを絡めてご回答をお願いできればと思います。ちなみに、私自身はいまだよく理解できていません（笑）。お恥ずかしいのですが・・・もしかすると、みなさんのご回答で十分中学生には理解できるのかもしれませんが、私のように出来ない部類の中学生にわかるように、というお願いは難しいでしょうか？
ＮＯ１へのお礼で書いたとおり、状況によってはすぐにお返事できないかもしれませんが、よろしくお願いいたします。

回答No.6

nag0720

＃３です。

＞本問は公立高校の入試問題ですので、そのような解き方ではないと思います。
＞軌跡等は高校の高学年で学びます。

軌跡ということばを使ったのはまずかったかもしれませんが、点Fを直線BD上にとるという解法は合っているでしょう。
そうすることによって、AC=BFとなって計算が簡単になりますから。

軌跡を使わなくても、
BD上の任意の点Pとそれに対応する点Qに対し、
△AEQ≡△ACP、△ACQ≡△AFPであることは簡単に証明できるので、E,Q,Cが一直線上にあることが分かります。

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

回答No.5

kenjoko

No.２です。

No.１さん、ありがとうございます。

＞△QPAは正三角形と問題文にあるのでそのまま条件で使いました

このとき、点QがEC上にあることを示さないといけないのでは。

後の計算はあなたと同じになります。

入試本番ではヤマをかけてそのようにやれば、とりあいず点をもらえるでしょうが。

No.３さんへ

本問は公立高校の入試問題ですので、そのような解き方ではないと思います。

軌跡等は高校の高学年で学びます。

質問者はどこまで分かりましたか。

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

回答No.4

tomokoich

NO1です
NO3さんが説明されているのでなんですが
NO2さんがいわれるとおりPも同じ直線上です・・書き忘れてました
あと△QPAは正三角形と問題文にあるのでそのまま条件で使いました
よって直線EC上に△QPAの底辺(QP)がある感じですね

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。

回答No.3

nag0720

点Qは、点Pを「点Aを中心に60°右回転」した位置にあります。
つまり、点Pが直線BD上を移動したときの点Qの軌跡は、直線BDを「点Aを中心に60°右回転」した直線です。
また、直線BD上の点Dの右側に、AF=6となる点Fをとると、AC=AF=CF=6より△AFCは正三角形です。
P=BとすればQ=E、P=FとすればQ=Cとなるので、点Qの軌跡は、直線EC上にあることが分かります。
点Pを直線BDと直線ECの交点にすると、点E,Q,P,Cが一直線上になり、そのときEQ+QP+PCが最小になります。

BDの中点をGとすれば、
EQ+QP+PC=EC=BF=BG+GF=4+3√3

お礼

さっそくご回答いただきありがとうございます。親戚の者の容体が急変という連絡がありましたので（容体は回復）、見舞っていたためお礼が遅れてしまい済みませんでした。現時点でアップされたＮＯ７まで取り急ぎ拝見させていただきましたが、それぞれにお答えする時間がありませんので（親戚の年齢的に次の準備をはじめるとのこと）、ＮＯ７さんのところでまとめさせていただくことをお許しください。本当にすみません。