複素数（ローラン展開）の問題です

質問

1/(Z~3+Z~5) の原点を中心とするローラン展開を求めよ

という問題につまずきました。ヒントもしくは回答を宜しくお願いします。

関数が与えられた場合のローラン展開の解法のコツも、もしよければ教えてください]の結果がみつかりませんでした

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

ローラン展開（テイラー展開も）には一意性があるので

どんな手を使ってでも展開したもの勝ち

です．そして，一番簡単に利用できるのは
1/(1-z) = 1+z+z^2+z^3+・・・・
の公式（等比級数の和の公式）です
（というか，ローラン展開の式そのものの証明が
これとコーシーの積分公式の組合せ）．
そして，zに好き勝手な値を入れてしまうのです．
ありがちなのが，zの代わりに -z とか -z^2 とか．
ほかによく使うのが，e^z の展開です．

ちなみにNo.1さん
1+z^2+z^4+・・・・= 1/(1-z^2)ですよ．

お礼

ローラン展開（テイラー展開も）には一意性がある

この言葉で一気に理解が深まりました。ありがとうございました！！

回答No.3

info22

#2さんの指摘どおりですので
1/(1+z^2)のローラン展開は
1/(1+z^2)=1- z^2 +z^4 -z^6 +z^8 - ...
です。
この式の両辺に
1/(z^3)
をかけてやれば、求めるローラン展開となります。

お礼

丁寧な対応ありがとうございました！
たすかりました！

回答No.1

PRFRD

ローラン級数展開は，一般には簡単ではありません．
（複素積分を実行する必要がある）

ですが，問題として出てくるようなものはだいたい
「負のべきを含む多項式」と，「テイラー展開を知っている関数」の
組み合わせなので，テイラー展開したあとに多項式を掛ければ
簡単にローラン展開が求まります．

例えば今回の問題については，1/Z^3 で括りだせば
　1/Z^3 1/(1 + Z^2)
となりますが，1/(1 + Z^2) のテイラー展開は
　1/(1 + Z^2) = 1 + Z^2 + Z^4 + ...
であることを知っているので，組み合わせると
　1/Z^3 (1 + Z^2 + Z^4 + ... ) = 1/Z^3 + 1/Z + Z + Z^3 + ...
と，簡単にローラン展開できます．

お礼

迅速な対応ありがとうございました！
助かりました！！