平面ベクトル 解答解説お願いします！

質問

直角三角形ABCの斜辺BCの中点をMとする。辺AB, AC上にそれぞれ点P, Qを取り、点P, Qから辺BCに下ろした垂線の足をP', Q'とする。このとき点P', Q'はP'Q'=BC/2を満たしているものとする。いま、MP→=p→, MQ→=q→, MC→=c→とおく。（ここではベクトルxをx→と表します。回答者様は自分のやりやすい方法でベクトルを表していただいて構いません）

(2) MPとMQは常に直交することを証明しなさい。

ちなみに（１）の問題は
P'Q'=BC/2なる関係を、内積を用いてc→, p→. q→で表せという問題でしたが、解けましたのでこちらの解説は必要ありません。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

ベクトルの矢印は省略します。
ｐ・ｑ＝（ＭＰ’＋Ｐ’Ｐ）・（ＭＱ’＋Ｑ’Ｑ）
　　　＝ＭＰ’・ＭＱ’＋ＭＰ’・Ｑ’Ｑ＋Ｐ’Ｐ・ＭＱ’＋Ｐ’Ｐ・Ｑ’Ｑ
ここでＭＰ’・Ｑ’ＱおよびＰ’Ｐ・ＭＱ’は直交するベクトルの内積なので値はゼロです。よって
ｐ・ｑ＝ＭＰ’・ＭＱ’＋Ｐ’Ｐ・Ｑ’Ｑ
　　　＝－｜ＭＰ’｜｜ＭＱ’｜＋｜Ｐ’Ｐ｜｜Ｑ’Ｑ｜　・・・（１）

｜ＭＰ’｜＝｜ｃ｜－｜ＢＰ’｜であり、｜ＭＱ’｜＝｜ｃ｜－｜ＣＱ’｜です。また、
△ＣＱＱ’と△ＰＢＰ'は相似であることから，実数ｋを用いて
｜ＣＱ’｜＝ｋ｜ＰＰ’｜、｜ＱＱ’｜＝ｋ｜ＢＰ’｜

これらを（１）に代入すると
－（｜ｃ｜－｜ＢＰ’｜）（｜ｃ｜－｜ＣＱ’｜）＋ｋ｜ＰＰ’｜｜ＢＰ’｜
　　　＝－｜ｃ｜＾２－｜ｃ｜（｜ＢＰ’｜＋ｋ｜ＰＰ’｜）
　　　＝－｜ｃ｜＾２－｜ｃ｜（｜ＢＰ’｜＋｜ＣＱ’｜）
　　　＝－｜ｃ｜＾２－｜ｃ｜＾２
　　　＝０
となり、ｐとｑは直交することが判ります。

お礼

お礼の言葉を述べるのが大変遅くなって申し訳ございませんでした。
迅速かつ明瞭な回答、有難うございました。
最も早く回答してくださったのでBAに選ばせて頂きます。

回答No.3

yyssaa

Mを起点とするC方向の単位ベクトルをe1→、同じくMを起点として
e1→と直交する単位ベクトルをe2→とすると、
MQ→=MQ'e1→+QQ'e2→、MP→=-MP'e1→+PP'e2→ と表せる。
△ABC∽△BPP'∽△CQQ'から
PP'/BP'=PP'/(BM-MP')=AC/AB=CQ'/QQ'=(CM-MQ')/QQ'
よって
PP'*QQ'=(BM-MP')*(CM-MQ')
BM=CM=MP'+MQ'=Hとすると
PP'*QQ'=(H-MP')*(H-MQ')=H^2-H*(MP'+MQ')+MP'*MQ'
=h^2-H*H+MP'*MQ'=MP'*MQ'
すなわちPP'*QQ'=MP'*MQ'
MP→とMQ→の内積は
MP→・MQ→=(-MP'e1→+PP'e2→)・(MQ'e1→+QQ'e2→)
=-MP'*MQ'+PP'*QQ'=0となり、MP→とMQ→は直交する。

お礼

お礼の言葉を述べるのが大変遅くなって申し訳ございませんでした。
分かりやすいご回答で本当に助かりました。

回答No.2

151A48

(1)の答えがどうなっているのか知りませんが，
MP'=p→・（－ｃ→/|c→|)，MQ'=q→・（c→/|c→|) なので，MP'+MQ'=|c→| より
ｐ・（－ｃ/|c|)+q・(c/|c|)=|c|　より　　c・(q-p)=|c|^2 ・・・＊　として使わせていただきます。
＜面倒になったのでベクトルの→記号は省かせていただきます。＞
c=xp+yp　（ｘ，ｙ実数，ｐ，ｑベクトル）　として＊に代入。計算して整理すると
-x|p|^2+(x-y)p・q+y|q|^2=(x^2)|p|^2+2xyp・q+(y^2)|q|^2
これより　x^2=-x, 2xy=x-y, y^2=y
(x,y)=(0,0),(0,1),(-1,0),(-1,1) が考えられるが，(-1,1)が適。よって　ｃ＝ｑ－ｐ
これは　ベクトルＰＱ＝（１/2）ベクトルＢＣ　を意味するので，中点連結定理の逆より，Ｐ，ＱはそれぞれＡＢ，ＡＣの中点。∠ＭＰＡ＝∠ＭＱＡ＝∠Ａ＝９０°なので，∠ＰＭＱ＝９０°

お礼

お礼の言葉を述べるのが大変遅くなって申し訳ございませんでした。
丁寧に手順を説明頂き、誠に有難うございます。