平面ベクトル96[B]

質問

四角形ABCDは平行四辺形ではないとし、辺AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれP,Q,R,Sとする。
(1)線分PRの中点Kと線分QSの中点Lは一致することを示せ。
(2)線分ACの中点Mと線分BDの中点Nを結ぶ直線は点Kを通ることを示せ。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

テキスト文書の都合上，矢印は省きます。ベクトルOAを単にOA,ベクトルaを単にaと書きます。
　質問内容から推測すると，「ベクトルの和や差を作図する。図からベクトルの和や差を読み取る」ことがまだ十分に習熟していないと思われます。この基本を教科書等でじっくり学習してください。

さて……，
原点をOとして，OA=a,OB=b,OC=c,OD=dとします。
（言い換えると，４点A,B,C,Dの位置ベクトルをそれぞれa,b,c,dとします，の言い方もあります。）

（１）４点P,Q,R,Sはそれぞれ線分AB,BC,BD,DAの中点であるから
OP=(a+b)/2,OQ=(b+c)/2,OR=(c+d)/2,OS=(d+a)/2
となります。そして
点Kが線分PRの，点Lが線分SQの中点であるから
OK=(OP+OR)/2
={((a+b)/2)+((c+d)/2)}/2
=(a+b+c+d)/4
OL=(OQ+OS)/2
={((b+c)/2)+((d+a)/2)}/2
=(a+b+c+d)/4
よってOK=OLだから，２点K,Lは一致します。

（２）目的：MK,MNが実数倍の関係にあることを証明します。つまり，MKを伸ばすと(もしかして縮めると)MNになるという事を証明するのです。では，

点Mは線分ACの中点，点Nは線分BDの中点だから
OM=(a+c)/2,ON=(b+d)/2
となります。これから
MN=ON-OM
=(b+d)/2-(a+c)/2
=(-a+b-c+d)/2　……①
MK=OK-OM
=(a+b+c+d)/4-(a+c)/2
=(a+b+c+d-2(a+c))/4
=(-a+b-c+d)/4　……②
①②より
MN=2MK
（つまり，MKを２倍に伸ばすとMNになる）
よって３点M,K,Nは一直線上にあるから，直線MNは点Kを通る。

お礼

ありがとうございました。