ベクトル

質問

三角形ABCにおいて、AB=8、AC=6、角BAC=60°である。
辺ABの中点をM、辺ACを1:2に内分する点をNとすると、
ベクトルAM=ア/イベクトルAB、ベクトルAN=ウ/エベクトルAC
であ る。
また、ベクトルABとベクトルACの内積は
ベクトルAB・ベクトルAC=オカ
である。
点Mを通り辺ABに垂直な直線と点Nを通り辺ACに垂直な直線との交点をPとする。
s、tを実数として、ベクトルAP=sベクトルAB+tベクトルACとおくと
ベクトルMP={s-(キ/ク)}ベクトルAB+tベクトルAC
であるから、AB垂直MPより
ケs+3t=コ
であり、同様にAC垂直NPより
サs+3t=シ
である。したがって
s=ス/セ、t=ソ/タ
である。
さらに、直線APと直線BCの交点をQとおくと
BQ:QC=1:チ/ツである。

ベクトル苦手なので、全然わかりません…
助けてください>_<
よろしくお願いします

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

ANo.5に図を添付するのを忘れたので付けます。

思えばこの場合はAQ（AP）が角Aの２等分線なので
角の２等分定理を適用すれば
BQ:QC=AB:AC=8:6=4:3=1:(3/4)
はすぐ出てきますね。

回答No.5

info22_

No.2です。

>辺ACを2:1に内分する点をNとする
でした

ということなのでANo.2の回答も以下のように変更してください。

三角形ABCにおいて、AB=8、AC=6、角BAC=60°である。
辺ABの中点をM、辺ACを2:1に内分する点をNとすると、
ベクトルAM=(1/2)ベクトルAB、ベクトルAN=(2/3)ベクトルAC
である。
また、ベクトルABとベクトルACの内積は
ベクトルAB・ベクトルAC=8×6×cos60°=8×6×(1/2)=24
である。
点Mを通り辺ABに垂直な直線と点Nを通り辺ACに垂直な直線との交点をPとする。
s、tを実数として、ベクトルAP=sベクトルAB+tベクトルACとおくと
ベクトルMP={s-(1/2)}ベクトルAB+tベクトルAC
であるから、AB垂直MPより
(s-(1/2))64+24t=0
8s-4+3t=0
8s+3t=4 ⇔ ケs+3t=コ
であり、同様にAC垂直NPより
べNP=べAP-べAN=sべAB+tべAC-(2/3)べAC=sべAB+{t-(2/3)}べAC
AC⊥NPより
s×24+{t-(2/3)}×36=0
2s+3t-2=0
2s+3t=2 ⇔ サs+3t=シ
である。したがって
s,tの連立方程式
8s+3t=4
2s+3t=2
を解いて
s=1/3、t=4/9
である。

さらに、直線APと直線BCの交点をQとおくと
べAP=(1/3)べAB+(4/9)べAC
べAQ=kべAP=(1/3)kべAB+(4/9)kべAC
(1/3)k+(4/9)k=1
k=9/7
べAQ=(3/7)べAB+(4/7)べAC
=べAB+べBQ
=べAC+べCQ
べBQ=べAQ-べAB=-(4/7)べAB+(4/7)AC=(4/7)べBC
べQC=-べCQ=べAC-べAQ=-(3/7)べAB+(3/7)べAC=(3/7)べBC
BQ:QC=4:3=1:(3/4)

回答No.4

yyssaa

（追加です）
さらに、直線APと直線BCの交点をQとおくと
BQ:QC=1:チ/ツである。
＞u、vを実数としてQC=uBQ、↑AQ=v↑AP=(v/3)↑AB+(4v/9)↑ACとすると、
↑BQ+↑QC=(1+u)↑BQ=↑BC=↑AC-↑AB
↑BQ=↑AQ-↑AB=(v/3-1)↑AB+(4v/9)↑AC
(1+u)(v/3-1)↑AB+(1+u)(4v/9)↑AC=↑AC-↑AB
(1+u)(v/3-1)=-1、(1+u)(4v/9)=1
v=9/{4(1+u)}代入して
3(1+u)-4(1+u)^2=-4(1+u)
4u^2+u-3=0、(4u-3)(u+1)=0、u=-1はあり得ないので、u=3/4・・・答

回答No.3

yyssaa

＞対補足：途中までですが。
ベクトルを↑で表します。
↑AM=(1/2)↑AB、↑AN=(2/3)↑AC
また、ベクトルABとベクトルACの内積は
ベクトルAB・ベクトルAC=オカ
である。
＞↑AB・↑AC=|↑AB|*|↑AC|cos∠BAC=8*6*cos60°=24
点Mを通り辺ABに垂直な直線と点Nを通り辺ACに垂直な直線との交点をPとする。
s、tを実数として、ベクトルAP=sベクトルAB+tベクトルACとおくと
ベクトルMP={s-(キ/ク)}ベクトルAB+tベクトルAC
＞↑AM+↑MP=↑AP、↑AM=(1/2)↑ABだから
↑MP=↑AP-↑AM=s↑AB+t↑AC-(1/2)↑AB=(s-1/2)↑AB+t↑AC
であるから、AB垂直MPより
ケs+3t=コ
であり、
＞↑AB・↑MP=↑AB・{(s-1/2)↑AB+t↑AC}
=(s-1/2)↑AB・↑AB+t↑AB・↑AC=(s-1/2)|↑AB|^2+24t
=64(s-1/2)+24t=64s-32+24t=0、64s+24t=32、8s+3t=4
同様にAC垂直NPより
サs+3t=シ
である。
＞↑AN+↑NP=↑AP、↑AN=(2/3)↑ACだから
↑NP=↑AP-↑AN=s↑AB+t↑AC-(2/3)↑AC=s↑AB+(t-2/3)↑AC
↑AC・↑NP=↑AC・{s↑AB+(t-2/3)↑AC}
=s↑AC・↑AB+(t-2/3)↑AC・↑AC=s↑AC・↑AB+(t-2/3)|↑AC|^2
=24s+36(t-2/3)=0、24s+36t=24、2s+3t=2
したがって
s=ス/セ、t=ソ/タ
である。
＞8s+3t=4、2s+3t=2を連立で解いてs=1/3、t=4/9

回答No.2

info22_

三角形ABCにおいて、AB=8、AC=6、角BAC=60°である。
辺ABの中点をM、辺ACを1:2に内分する点をNとすると、
ベクトルAM=(1/2)ベクトルAB、ベクトルAN=(1/3)ベクトルAC
である。
また、ベクトルABとベクトルACの内積は
ベクトルAB・ベクトルAC=8×6×cos60°=8×6×(1/2)=24
である。
点Mを通り辺ABに垂直な直線と点Nを通り辺ACに垂直な直線との交点をPとする。
s、tを実数として、ベクトルAP=sベクトルAB+tベクトルACとおくと
ベクトルMP={s-(1/2)}ベクトルAB+tベクトルAC
であるから、AB垂直MPより
(s-(1/2))64+24t=0
8s-4+3t=0
8s+3t=4 ⇔ ケs+3t=コ
であり、同様にAC垂直NPより
べNP=べAP-べAN=sべAB+tべAC-(1/3)べAC=sべAB+{t-(1/3)}べAC
AC⊥NPより
s×24+{t-(1/3)}×36=0
2s+3t-1=0
2s+3t=1 ⇔ サs+3t=シ
である。したがって
s,tの連立方程式
8s+3t=4
2s+3t=1
を解いて
s=1/2、t=0
である。
したがってPはMと一致する。
さらに、直線APと直線BCの交点をQとおくと
QはBと一致する。
BQ=0,
余弦定理より
QC=BC=√(64+36-48)=√52
「BQ:QC=1:チ/ツである。」←この形では表せない。

回答No.1

yyssaa

＞問題に誤りあり（点Mと点Pが同じ点になる）。

補足

すみません…
辺ACを2:1に内分する点をNとする
でした…