平面ベクトル

質問

平行四辺形の問題
平行四辺形ＡＢＣＤにおいて∠ＤＡＢ＝120°、ＢＣ＝１、辺ＡＢの中点をＭ、辺ＢＣを２：１に内分する点をＮとする。
（１）ベクトル→ＭＮを→ＡＢと→ＢＣを用いて表せ。
（２)辺ＡＢの長さをｘとおく。→ＡＢ・→ＭＮをｘを用いて表せ。
（３）辺ＣＤ上に点Ｐをとる。点Ｐを辺ＣＤ上で動かしても、→ＭＮ・→ＮＰが常に一定の値になるとき、辺ＡＢの長さを求めよ。また、そのときのＭＮ・ＮＰの値を求めよ。
（1）の答：→ＡＢ＋（４/３）→ＢＣ　　（２）の答　ｘ～2＋(２/３)Ｘとなりましたが(３)は分かりません。
（１）、(２)含めて宜しくご指導ください。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の図を添付します。
ANo.1とあわせてご覧ください。

お礼

早速ご丁寧な解説、解答をどうもありがとうございました。解答を参考に自分の解の間違い箇所も
分かりました。(３)の解き方もなるほど、このようにして解くのだとよく理解できました。とても感謝
しております。

回答No.1

info22_

(1)
>（1）の答：→ＡＢ＋（４/３）→ＢＣ
これは間違い。

[正解]
→MN=→BN-→BM=(2/3)→BC-(1/2)→BA
=(1/2)→AB+(2/3)→BC

(2)
>（２）の答　ｘ^2＋(2/3)x
間違いです。

[正解]
(1)で求めた→MNより
→AB・→MN=→AB・((1/2)→AB+(2/3)→BC)
=(1/2)→AB・→AB+(2/3)→AB・→BC
=(1/2)AB^2+(2/3)AB*BCcos120°
=(1/2)x^2+(2/3)x*1*(-1/2)
=(1/2)x^2 -(1/3)x
または
=x(3x-2)/6

(3)
CP=yとおくと
→NP=→CP-→CN=(y/x)→CD+(1/3)→BC=-(y/x)→AB+(1/3)→BC
これと(1)で求めた→MNより
→MN・→NP
=((1/2)→AB+(2/3)→BC)・(-(y/x)→AB+(1/3)→BC)
=-(1/2)(y/x)AB^2+(2/3)(1/3)BC^2
+{(1/2)(1/3)-(2/3)(y/x)}→AB・→BC
=-(1/2)(y/x)x^2+(2/3)(1/3)*1^2
+{(1/2)(1/3)-(2/3)(y/x)}*x*1*cos120°
=-(1/2)xy+(2/9)-{(1/6)x-(2/3)y}*(1/2)
=-(1/2)xy+(2/9)-(1/12)x+(1/3)y
=(2/9)-(1/12)x+{(1/3)-(1/2)x}y ...(※)
これがyに依存しないで常に一定となることから

yの係数={(1/3)-(1/2)x}=0 ∴x=AB=2/3 ←(答え)

このとき
>そのときのＭＮ・ＮＰの値を求めよ。
「→ ＭＮ・→ＮＰ」の間違いですね？

そうだとして
(※)より
→MN・→NP=(2/9)-(1/12)x=(2/9)-(1/12)(2/3)=(4-1)/18=1/6 ←(答え)