(a^2+a+a)(a^2+2-2)の展開

質問

(a^2+a+4)(a^2+a-2)

解説に以下のようにあります。
与式
={(a^2)+a)+4}{(a^2+a)-2}
=(a^2+a)^2+2(a^2+a)-8

乗法公式の単元で、解説の1行目の式　{(a^2)+a)+4}{(a^2+a)-2}　から
2行目の式(a^2+a)^2+2(a^2+a)-8に変形する際に、
乗法公式を用いていると思うのですが、
どの公式を用いたら2行目になるのか分からず、教えていただけると大変助かります。

回答No.3

WiredLogic · ベストアンサー

「#1さんの回答への補足」への説明ですが、

高１の参考書かなんかですよね？
(高校受験の私立難関校向けテキストの可能性もあるかもしれませんが)

だとしたら、もうちょっと前のまとめとかに
(なければ、教科書の最初の方にある、公式のまとめあたりに)

(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x + ab

という公式があるはずです。
#1さんの回答は、これに、x=A, a=+4, b=-2 を代入して、出しています。
数学ができるようになりたければ、今すぐにでなくてもいいので、
一々、Aに置き直さなくても、公式が使えるトレーニングもした方が
いいかと思います。

#2さんのおっしゃるように「これくらいなら、公式を使わなくても」
という考え方も、勿論ありだと思いますが、

これから先になると、一々、展開をしていると、大変だから、
公式を覚えて使った方がいい、というタイプの公式も出てきますから、
そういう公式を使った、さらなる応用問題ができるようになるために、
易しいところで練習している、と、考えて、これはこれで、やり方を
身に付けておく方が得策かと思います。

また、計算をすれば、公式がなくても、展開はできますし、練習次第では
公式思い出している間に、計算できるようにもなりますが、この次の
因数分解では、ここいらの公式が頭の中に入っていないと、なかなか厳しい、
九九を覚えていなくても、足し算が素早くできれば、掛け算はできますが、
割り算は厳しい、のと、同じようなことがありますので、公式も軽視しない
ようにしてください。

さらに、先になると、公式の応用だけでは難しい展開も出てきますから、
#2さんのような、実際に展開する方法、そのままでは、大きな式には
対応できないので、掛け算の筆算をするような形になりますが、
そちらの方向も、練習しておいた方がいい。

公式は、忘れても、計算をすれば出せることを知って、計算しながら
覚える、特に、計算に手間がかかるものは、できるだけ忘れないように
覚えるようにする、こういう方針で両方から勉強・練習するのが、
この時点では多少遠回りになっても、長い目でみると、大変効率的な
勉強法になります。

お礼

(x+a)(x+b)=x^2 + (a+b)x + ab

まさにこれがつまっていたところです。
この公式に当てはめるという発想が出てきませんでした。
疑問が氷解いたしました。
本当にありがとうございましたm(_ _)m。

回答No.4

misawajp

この問題に限定すれば　単純に展開して行っても手数はほとんど変わりません

が　式中の共通する部分を見つけてまとめることで計算を容易にし、間違いの防止になります

問題の式中には　a^2+a　共通して存在します　
ですから
A=a^2+a　と置けば　与式は　（A+4)（A-2)　となります

これを見つけ出す感性を養うことです（練習すればある程度までは習得できます）

以下略

お礼

ありがとうございました。
アドバイスを踏まえて、練習を重ねて習得したいと思います。

回答No.2

JOUNIN

展開をする際は公式だと思わないで、その場で考えるのがいいと思います
たとえば、(x+4)(x-2)を展開したいなら

(x+4)(x-2)
=(x+4)x+(x+4)(-2)
=(x^2+4x)+(-2x-8)
=x^2+2x-8

などとするだけです
慣れてくればいちいちこのようなことをしなくても
暗算でできるようになりますよ！

お礼

なるほど、公式を使わないという手もあるのですね。
大変参考になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

masssyu

こんにちは。
こういう問題を解くにはある程度方式があります。
順番に解いていきます。
(a^2+a+4)(a^2+a-2)の「a^2+a」の部分をAとおいてみましょう。
そうすると
(A+4)(A-2)となり
(A+4)(A-2)=A^2+2A-8
ここでAをもとの「a^2+a」に戻してみましょう。
そうすると
(a^2+a)^2+2(a^2+a)-8　となります。

お礼

詳細なご回答をありがとうございましたm(_ _)m。

補足

ご回答ありがとうございます。
(A+4)(A-2)をA^2+2A-8に展開する際は、
何かの公式を用いるのでしょうか？