ローラン展開の式変形について

質問

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1259716977
の解答にある以下の式変形についての質問です。
　z-pi/2=u とおくと、
　　tan(z)=-cos(u)/sin(u)
　　=(-1/u)*{1-u^2/2!+...}/{1-u^2/3!+...} ……(A)
　　=(-1/u)*{1+3u^2+...} ……(B)

なぜ(A)から(B)の変形ができるのでしょうか？

回答No.3

f272 · ベストアンサー

> 　たとえば A[2] を求めるのに
> 　　A[2]u^2(1 - u^2/3! + u^4/5! - …) = -u^2/2!

これは無茶苦茶です。係数がどうなるかを調べるには両辺の同じ次数の係数が等しいということを使います。あなたの書いた式は多項式のうちの適当な項を持ってきて等しいと言っていることになります。
　(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)
= (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*(A[0] + A[1]u^1 + A[2]u^2 + …)
のu^2の係数は左辺は-1/2!で右辺はA[2]-A[0]/3!になるはずです。
= (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*A[0]
+ (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*A[1]u^1
+ (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*A[2]u^2 + …
= (A[0] - u^2/3! + u^4/5! - …)
+ ( A[1]u^1 - A[1]u^3/3! + A[1]u^5/5! - …)
+ ( A[2]u^2 - A[2]u^4/3! + A[2]u^6/5! - …) + …
= A[0] + A[1]u^1 + (A[2]-A[0]/3!)u^2 +(A[3]- A[1]/3!)u^3 + (A[4]-A[2]/3!+A[0]/5!)u^4 + …

お礼

ありがとうございました。助かりました。

回答No.2

gamma1854

1/【1 - u^2/3! + u^4/5! - u^6/7! + ...】
=c[0]+c[2]u^2+c[4]u^4+....
(uの奇数次の項は０)
が|u|のある範囲で成り立つとして、
【1 - u^2/3! + u^4/5! - u^6/7! + ...】【c[0]+c[2]u^2+c[4]u^4+....】
=1+0u^2+0u^4+...
がuの恒等式となるように係数c[k]を決定します。
(定数項) ... c[0]=1,
(u^2の係数) ... 1*c[2]+(-1/3!)*c[0]=0,
(u^4の係数) ... 1*c[4]+(-1/3!)*c[2]+(1/5!)*c[0]=0,
...
このようにしてc[k]が順次決定します。

回答No.1

f272

つまり
{1-u^2/2!+...}={1-u^2/3!+...}*{1+3u^2+...}
ということが分かればよいのですよね。
{1-u^2/2!+...}={1-u^2/3!+...}*{A[0]+A[1]u^1+A[2]u^2+A[3]u^3+...}
と考えて右辺を展開してください。
順々にA[0]=1，A[1]=0，A[2]=1/3，A[4]=0ということがわかるはずです。

補足

回答ありがとうございます。返信が遅れました。

> {1-u^2/2!+...}={1-u^2/3!+...}*{A[0]+A[1]u^1+A[2]u^2+A[3]u^3+...}
> と考えて右辺を展開してください。
　展開したのですが、うまくいきません。

　　(1 - u^2/2! + u^4/4! + …)
　= (1 - u^2/3! + u^4/5! - …)*(A[0] + A[1]u^1 + A[2]u^2 + …)

　たとえば A[2] を求めるのに

　　A[2]u^2(1 - u^2/3! + u^4/5! - …) = -u^2/2!
　　A[2](1 - u^2/3! + u^4/5! - …) = -1/2!
　　A[2] = -1/2!(1 - u^2/3! + u^4/5! - …)

となってしまいます。どこがまずいのでしょうか？