微積分

質問

∫ x^a(1+x)^b dx
積分範囲0～∽

この問題は
t=x/(1+x)とおく

これをベータ関数で表せ

という問題なのですが
どうしても答えがでないんです

教えてください

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

昔やったのでよく覚えていないのですが，ベータ関数ってB(p,q)=∫(0,1)x^(p-1)・(1-x)^(q-1)dx　のことでしたよね。
t=x/(1+x)　と置くことで与式をこの形式にしろ，ということでは？
t=x/(1+x)だとx：0→∞のときt：0→1 で
x=t/(1-t), 1+x=1/(1-t) dx/dt=1/(1-t)^2　を与式に代入すると
∫(0,1)t^a・(1-t)^(-a-b-2)dt=B(a+1,-a-b-1)　かな？ でもp>0,q>0だったようなきもするし・・・
参考にして下さい。

お礼

ありがとうございます。

とても参考になりました!!

回答No.1

alice_44

あまり、微積の問題でもない様ですが…

x = 0, →∞ が、t = 0, →1 に対応しています。
後は、(xのa乗)/((x+1)のb乗) dx = (xのa乗)((x+1)の(-b+2)乗) dt と
(tのA乗)((1-t)のB乗) dt = (xのA乗)((x+1)の(-A-B)乗) dt が一致
するように、A, B の値を決めるだけです。

連立一次方程式ですね。

お礼

すみません
よくわからないです(ToT)

ベータ関数でどのように表すんですか？