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合成関数の積分についての質問
- gが(a,b)において連続[a,b]において微分可能とし、g´(x)＞0で、fもgの値域においては連続とするとき、∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b))が成り立つことを示し、(Fоg)´(x)を計算せよという問題です。((Fоg)は合成関数)
- 提示されたヒントによると、g(a)≦y≦g(b)において F(y) = ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置くことができます。
- 問題の目的は、∫f(g(x))g´(x)dxと∫f(y)dyの等式を示すことです。また、(Fоg)´(x)の計算についてもヒントが欲しいとのことです。
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- uzumakipan
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こんばんは。＃３です。回答に対する質問は （１）gが単調増加関数ならばg´が積分可能の理由 （２）f(g(x))とg'(x)の積f(g(x))g'(x)も積分可能の理由 と解釈してよろしいですよね？理由の説明の前に有界な関数f(x)が区間[a,b]で積分可能であるための必要十分条件は、f(x)の上積分と下積分が一致することであることはご存知ですか？ （１）[a,b]をn個の区間[a_0,a_1],[a_1,a_2],…,[a_{n-1},b]に分割する。各区間の幅δ_iを δ_i=a_{i+1}-a_iとする。 このとき、g(x)の[a,b]における上積分は lim_{n→∞}Σg(a_{i+1})δ_i （Σはi=1からnまで) 同様に下積分は lim_{n→∞}Σg(a_i)δ_i （Σはi=1からnまで) となるため、上積分－下積分は Σ{g(a_{i+1})-g(a_i)}δ_i≦Σ{g(a_{i+1})-g(a_i)}δ=(g(a)-g(b))δ ここで δ=max δ_i(i=1,2,…,n) したがって、n→∞ とすると右辺は０となる。つまり上積分－下積分＝０となるため、gの上積分と下積分は一致する。したがって、gが単調増加なら積分可能である。 （２）大まかな説明 （f(g(x))g'(x)の上積分－ 下積分）≦（f(g(x))の上積分－ 下積分）＋（g'(x)の上積分－ 下積分） の関係があり、 f(g(x))の上積分－ 下積分＝０ かつ g'(x)の上積分－ 下積分＝０ であるから f(g(x))g'(x)の上積分－ 下積分＝０ となって、f(g(x))g'(x)は積分可能である。 （２）に関しては厳密に証明しようとすると難しくなるので、大まかな証明にとどめました。（１）と（２）は微分積分より解析学（積分学）の範囲に入ってくるため内容的に難しくなります。 ですから、質問ではこの２つのことは証明なしで使いました。
補足
補足ありがとうございます。この定理は積分学の授業で出てきているので、厳密な証明を必要としています。 （１）に関しましては、gの積分可能性は証明されてますが、g´に関しては積分可能かはわからないと思います。 前の定理を復習していたら、 Gは[a,b]で連続かつ微分可能で、G´(x)＝f (x)のとき∫f(x)dx（積分範囲はaからb)=G(b)-G(a)が成り立つというのがありました。これは使えないでしょうか？ それと、fは[g(a),g(b)]で連続であることは何故いえるのでしょうか？ 前に出てきた定義にg´(x)>0 ∀x∈(a,b)であれば、gは(a,b)において増加 するとありました。(a,b)においてg(a)<g(b)は確実だと思いますが、[a,b] においては端の点が含まれてしまうので、一概にg(a)<g(b)とはいえませ ん。fは[g(a),g(b)]で連続であることがいえないとその範囲で積分出来る ことも言えません。アドバイスよろしくお願いします。
- uzumakipan
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こんにちは。＃２です。 ＞f(x)はgの値域においては連続より、微分積分学の基本定理から ＞F'(y)=f(y)とありますが、ここが良く分かりませんf(t)にはならないのでしょうか？ F'(y)=f(y)が正しいです。 微分積分学の基本定理とは、f(x)が[a,b]で連続のとき、[a,b]の任意の点をxとし F(x)= ∫f(t)dt(積分範囲はaからx) とおけば F'(x)=f(x) が成り立つ。 というものです。ですから、ここではF'(y)=f(y)が成り立つのです。 微分積分学の基本定理については、質問者さんのお手持ちの微分積分または解析学の教科書で、今一度ご確認ください。 それとひとつ訂正ですが、下から3行目 ＞両辺（最左辺と最右辺）をaからbまで積分すると （訂正） 最左辺をaからbまで積分すると、それに伴い最左辺はg(a)からg(b)までの積分となるから としてください。 こういった質問は大歓迎ですので、他にもわからないところがあれば遠慮なく質問してください。
補足
追加回答ありがとうございます。微分積分学の基本定理教科書で確認しま した。もう一つ疑問があるのですが、「g'(x)が有界かつ積分可(∵g'の単 調性)なので、f(g(x))g'(x)も積分可」とありますが、何故でしょうか？f もgもそれぞれ[g(a),g(b)]、[a,b]で積分可能であるのはわかるのですが、 なぜg´も積分可能で、そしてf(g(x))とg'(x)の積f(g(x))g'(x)も積分可能 なのでしょうか？積分可能な２つの関数の積は積分可能であるとは思いま すが、証明ができません。すいませんがよろしくお願いします。
- uzumakipan
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こんばんは。 gが[a,b]で連続かつ、g'(x)>0 より、gは単調増加。よって、xがaからbまで連続的に動くとき、g(x)はg(a)からg(b)まで連続的に1:1の対応をする。 g(a)≦y≦g(b)において F(y)= ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置く。f(x)はgの値域においては連続より、微分積分学の基本定理から F'(y)=f(y) y=g(x)とすると、F(y)はxの関数F(g(y))とみなすことができて、gは[a,b]で微分可より dF/dx = dF/dy・dy/dx = F'(y)g'(x)=f(y)g'(x)=f(g(x))g'(x) g'(x)が有界かつ積分可(∵g'の単調性)なので、f(g(x))g'(x)も積分可。よって、両辺（最左辺と最右辺）をaからbまで積分すると ∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b)) となる。(Fοg)´(x)=f(g(x))g'(x)である。
補足
丁寧に回答していただきどうもありがとう御座いました。 一つ分からないところがあります。 f(x)はgの値域においては連続より、微分積分学の基本定理から F'(y)=f(y)とありますが、ここが良く分かりませんf(t)にはならないのでしょうか？初歩的な質問ですいませんがよろしくお願いします。
- egarashi
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補足
どうやらg´が連続という条件が抜けていたようです。これですっきりしました。どうもありがとうございました。またお願いします。