合成関数の積分

質問

こんにちは。積分法に関する質問です。

gが(a,b)において連続[a,b]において微分可能とし、g´(x)＞0で、fもgの値域においては連続とするとき

∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b))が成り立つことを示し、(Fоg)´(x)を計算せよという問題です。((Fоg)は合成関数)

今ヒントが与えられていて

g(a)≦y≦g(b)において　F(y)= ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置く。とあるのですが、このヒントをどう使うのかが分かりません。

それと(Fоg)´(x)の計算もお手上げです。

どなたかヒントよろしくお願いします。

回答No.5

uzumakipan · ベストアンサー

こんばんは。＃４にて大変な勘違いをしていました。

（誤）（１）gが単調増加関数ならばg´が積分可能

（正）（１）gが単調増加関数ならばgが積分可能

ですね。だからといって、質問者さんが指摘なさっているようにg'の積分可能性とはまったく関係ありません。私は本題とは関係のないことを証明していました。ごめんなさい。

さて、改めてg'の積分可能性について考えてみました。結論はg(x)が[a,b]で連続、g'(x)>0の条件でg'(x)が積分可能かどうかは導けないと思います。なぜなら、g(x)が連続だからといってもg'(x)が連続とは限らないし（つまりg'(x)がどんな関数になるかわからない）、g'(x)>0は積分可能性を導ける道標にもなりません。 g'(x)が積分不可能であるような例を考えてみましたが残念ながら思いつきませんでした。

（ちなみに、このカテゴリには私よりも数学のできる方がたくさんいらっしゃるので、『g(x)が[a,b]で連続だが、g'(x)は積分不可能であるような関数の例はあるか？』と新しく質問を立ててみると面白い答えが返ってくるかもしれませんよ。）

それと、質問者さんが提案している
＞前の定理を復習していたら、 Gは[a,b]で連続かつ微分可能で、G´(x)＝f(x)のとき
＞∫f(x)dx（積分範囲はaからb)=G(b)-G(a)が成り立つというのがありました。これは使えないでしょうか？

残念ですが、これは使えません。なぜなら、g'(x)が連続とは限らないからです。ちなみに上の文章は

＞（誤）Gは[a,b]で連続かつ微分可能

＞（正）fは[a,b]で連続かつ微分可能

が正しいです（微分積分学の基本定理）。

ですから、＃２で示した私の証明は間違っています。ですが、証明の方針としては間違っていないと思います。ここからは私の考えなのですが、たぶん、この問題は

『g'(x)は有界かつ積分可能である』

という条件が抜けていると思います。なぜなら、g'(x)の積分可能性とf(g(x))g'(x)の積分可能性を示すにはこの条件が必要不可欠だからです。この問題は大学の講義の演習問題かレポートなのでしょうか？でしたら、問題を出された先生に確認していただけないでしょうか？

もし『g'(x)は有界かつ積分可能である』

という条件があるならば、＃２の説明はうまくいきます。

そして、

＞それと、fは[g(a),g(b)]で連続であることは何故いえるのでしょうか？

これは問題文に
『fもgの値域においては連続とするとき』
と書いてあるので、fは[g(a),g(b)]で連続です。

補足

どうやらg´が連続という条件が抜けていたようです。これですっきりしました。どうもありがとうございました。またお願いします。

回答No.4

uzumakipan

こんばんは。＃３です。回答に対する質問は

（１）gが単調増加関数ならばg´が積分可能の理由

（２）f(g(x))とg'(x)の積f(g(x))g'(x)も積分可能の理由

と解釈してよろしいですよね？理由の説明の前に有界な関数f(x)が区間[a,b]で積分可能であるための必要十分条件は、f(x)の上積分と下積分が一致することであることはご存知ですか？

（１）[a,b]をn個の区間[a_0,a_1],[a_1,a_2],…,[a_{n-1},b]に分割する。各区間の幅δ_iを　δ_i=a_{i+1}-a_iとする。

このとき、g(x)の[a,b]における上積分は

lim_{n→∞}Σg(a_{i+1})δ_i （Σはi=1からnまで)

同様に下積分は

lim_{n→∞}Σg(a_i)δ_i （Σはi=1からnまで)

となるため、上積分－下積分は

Σ{g(a_{i+1})-g(a_i)}δ_i≦Σ{g(a_{i+1})-g(a_i)}δ=(g(a)-g(b))δ　ここで δ=max δ_i(i=1,2,…,n)

したがって、n→∞　とすると右辺は０となる。つまり上積分－下積分＝０となるため、gの上積分と下積分は一致する。したがって、gが単調増加なら積分可能である。

（２）大まかな説明

（f(g(x))g'(x)の上積分－ 下積分）≦（f(g(x))の上積分－ 下積分）＋（g'(x)の上積分－ 下積分）

の関係があり、

f(g(x))の上積分－ 下積分＝０
かつ
g'(x)の上積分－ 下積分＝０
であるから
f(g(x))g'(x)の上積分－ 下積分＝０
となって、f(g(x))g'(x)は積分可能である。

（２）に関しては厳密に証明しようとすると難しくなるので、大まかな証明にとどめました。（１）と（２）は微分積分より解析学（積分学）の範囲に入ってくるため内容的に難しくなります。
ですから、質問ではこの２つのことは証明なしで使いました。

補足

補足ありがとうございます。この定理は積分学の授業で出てきているので、厳密な証明を必要としています。
（１）に関しましては、gの積分可能性は証明されてますが、g´に関しては積分可能かはわからないと思います。

前の定理を復習していたら、 Gは[a,b]で連続かつ微分可能で、G´(x)＝f
(x)のとき∫f(x)dx（積分範囲はaからb)=G(b)-G(a)が成り立つというのがありました。これは使えないでしょうか？

それと、fは[g(a),g(b)]で連続であることは何故いえるのでしょうか？

前に出てきた定義にg´(x)>0 ∀x∈(a,b)であれば、gは(a,b)において増加

するとありました。(a,b)においてg(a)<g(b)は確実だと思いますが、[a,b]

においては端の点が含まれてしまうので、一概にg(a)<g(b)とはいえませ

ん。fは[g(a),g(b)]で連続であることがいえないとその範囲で積分出来る

ことも言えません。アドバイスよろしくお願いします。

回答No.3

uzumakipan

こんにちは。＃２です。

＞f(x)はgの値域においては連続より、微分積分学の基本定理から
＞F'(y)=f(y)とありますが、ここが良く分かりませんf(t)にはならないのでしょうか？

F'(y)=f(y)が正しいです。

微分積分学の基本定理とは、f(x)が[a,b]で連続のとき、[a,b]の任意の点をxとし

F(x)= ∫f(t)dt(積分範囲はaからx)

とおけば

F'(x)=f(x)

が成り立つ。

というものです。ですから、ここではF'(y)=f(y)が成り立つのです。
微分積分学の基本定理については、質問者さんのお手持ちの微分積分または解析学の教科書で、今一度ご確認ください。

それとひとつ訂正ですが、下から3行目
＞両辺（最左辺と最右辺）をaからbまで積分すると

（訂正）
最左辺をaからbまで積分すると、それに伴い最左辺はg(a)からg(b)までの積分となるから

としてください。

こういった質問は大歓迎ですので、他にもわからないところがあれば遠慮なく質問してください。

補足

追加回答ありがとうございます。微分積分学の基本定理教科書で確認しま

した。もう一つ疑問があるのですが、「g'(x)が有界かつ積分可(∵g'の単

調性)なので、f(g(x))g'(x)も積分可」とありますが、何故でしょうか？f

もgもそれぞれ[g(a),g(b)]、[a,b]で積分可能であるのはわかるのですが、

なぜg´も積分可能で、そしてf(g(x))とg'(x)の積f(g(x))g'(x)も積分可能

なのでしょうか？積分可能な２つの関数の積は積分可能であるとは思いま

すが、証明ができません。すいませんがよろしくお願いします。

回答No.2

uzumakipan

こんばんは。

gが[a,b]で連続かつ、g'(x)>0 より、gは単調増加。よって、xがaからbまで連続的に動くとき、g(x)はg(a)からg(b)まで連続的に1:1の対応をする。

g(a)≦y≦g(b)において　F(y)= ∫f(t)dt(積分範囲はg(a)からy)と置く。f(x)はgの値域においては連続より、微分積分学の基本定理から

F'(y)=f(y)

y=g(x)とすると、F(y)はxの関数F(g(y))とみなすことができて、gは[a,b]で微分可より

dF/dx = dF/dy・dy/dx = F'(y)g'(x)=f(y)g'(x)=f(g(x))g'(x)

g'(x)が有界かつ積分可(∵g'の単調性)なので、f(g(x))g'(x)も積分可。よって、両辺（最左辺と最右辺）をaからbまで積分すると

∫f(g(x))g´(x)dx(積分範囲はaからb)=∫f(y)dy(積分範囲はg(a)からg(b))

となる。(Fοg)´(x)=f(g(x))g'(x)である。

補足

丁寧に回答していただきどうもありがとう御座いました。
一つ分からないところがあります。
f(x)はgの値域においては連続より、微分積分学の基本定理から

F'(y)=f(y)とありますが、ここが良く分かりませんf(t)にはならないのでしょうか？初歩的な質問ですいませんがよろしくお願いします。

回答No.1

egarashi

g(x)=yと置けば、両辺をxで微分して、
g'(x)=dy/dx
また、g(x)=yと置いたので、積分区間も変わるはずです。
これで示せたと思いますが…