積分範囲－∞→∞の積分の発散についてです。

質問

「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞　が、発散することを確かめよ。」
という問題なのですが、何度計算をしても０に収束してしまいます。
そもそも関数が奇関数なので０に収束するので間違いないと思うのですが…教科書に載っているの問題なのですが解答は「∫(x/1+x^2)dx 積分範囲０→∞　＝∞より∫(x/1+x^2)dx 積分範囲－∞→∞は発散」となっています。どういうことなのですか？

回答No.2

ringohatimitu · ベストアンサー

積分範囲を「-a～a」にしてませんか？
一般的に広義積分は「a～b」の積分値の極限「a→-∞、b→∞」として定義されます。

補足

ringohatimituさんのおっしゃるとおりです。積分範囲を「-a～a」にしていました。恥ずかしながら広義積分の定義を理解していなかったようです。

ただ、私も積分範囲を－∞→０、０→∞に分けて計算をしてみたのですが、結果は与式＝－∞＋∞となり、発散することを確かめられませんでした。教科書の解答では先に述べたようになっているのですが、教科書の解答の意図がわかりません。なぜあの解答によって与式が発散すると言えるのですか？

回答No.3

Tacosan

つまるところ定積分の値が -∞ + ∞ となるから「収束しない」ということではないかな?

お礼

排反的な考え方ですね！それならしっくりきました！ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

>そもそも関数が奇関数なので０に収束するので間違いないと思うのですが…

同じペースで +∞ と -∞ の両方向に積分範囲を広げても「収束する」とは言えません。

+∞ 方向の積分と -∞ 方向の積分が「各々個別に」収束するときに初めて、-∞ ～ +∞ の範囲の積分が「収束する」と言います。

お礼

早速の回答ありがとうございます！

私にはその発想がありませんでした…