定積分

質問

∫[1→2](sinπx)＾2dx

この問題なんですが、置換積分を用いて
t=πxとおいて
dx=dt/π
tの範囲は[π→2π]
∴∫[π→2π](1/π)(sint)＾2dt
＝(1/π)∫[π→2π](sint)＾2dt
＝(1/π)[(1/3cost)(sint)＾3][π→2π]
＝０
ってなったんですが答えは1/2でした。
どうすればいいでしょうか？

回答No.4

sanori

すみません。
いちばん下の式は、ａを書かずに
∫[1→2](sinπx)＾2dx　＝　∫[1→2]（１－cos(2πx)）／２・dx
と書くべきでした。

回答No.3

sanori

こんにちは。

sin(a±b) = sina・cosb ± sinb・cosa　（※１）
cos(a±b) = cosa・cosb 干 sina・sinb　（※２）
っていうの習いませんでしたか？
（加法定理って言います。）

cos(a+b) = cosa・cosb - sina・sinb
ここで a=b とすると、
cos(2a) = (cosa)^2 - (sina)^2　・・・（あ）

ところが、三平方の定理により
(sina)^2 + (cosa)^2 = 1　（※３）
より、
(cosa)^2 = 1- (sina)^2

これを（あ）に代入すると、
cos(2a) ＝ １ － ２(sina)^2
よって、
(sina)^2 ＝ （１ － cos(2a)）／２　（※４）

以上で準備が終わりました。

∫[1→2](sinπx)＾2dx　＝　∫[1→2]（１－cos(2a)）／２・dx

あとはできますね？

※１～※３　の公式は最低限暗記しましょう。
※４も覚えるに越したことはないですが、私はいつも上のように※１～※３の式から導出しています。

回答No.2

debut

(sint)^2の積分は(1/3cost)(sint)＾3ではないです。
ためしに微分してみてください。
何かと何かがごっちゃになってしまっているのかも。

(sint)^2=(1-cos2t)/2と次数下げしてから積分します。

回答No.1

koko_u_

>どうすればいいでしょうか？
計算まちがいです。(sin t)^2 の不定積分を考えなおしましょう。