定積分

質問

「質問」
画像に添付されている、練習問題66について
f(t)=2t+Aとなる理由が全く分からないです。

「質問に至った経緯」
極限の概念を用いて瞬間の傾きを求めることができるのが
微分で、その反対の計算が積分であり、
(1/n+1)xn^+1が積分計算の基本公式になるのは理解しています。

さて、分からないのはここからです。
∫[0→2] (6x-2)dxのような式であれば、積分の基本公式が使えます。
しかし画像に添付した問題では
∫[0→2]f(t)dtという式が書かれており、このままでは積分の基本
公式が使えません。
例題においては、f(t)=2x+Aとした後に、積分の基本公式を
用いて積分をしています。
ここがさっぱり分かりません。

関数f(x)がf(t)と同様になる理由がさっぱり分からないのです。
関数f(x)の中にf(t)という被積分関数があるのに、
なぜf(x)とf(t)が同じ関数になるの、、、？みたいな感じです。

「質問」
f(t)=2t+Aとなる理由を教えてほしいです。
もしくは理解のヒントとなるようなアドバイスや
それらしい説明がされているウェブサイトのリンクを
教えてほしいです

回答No.9

sknbsknb2 · ベストアンサー

回答No.8です。回答No.8の補足についてです。

>つまりf(x)という式の中に
>積分されたf(x)が入っているというような
>マトリョシカのような式なわけですね、、？。？

そうです。

回答No.8

sknbsknb2

回答No.7です。回答No.7の補足についてです。

>「質問」
>同じ設問中に頭文字が同じの関数が出てきた場合は
>同様の扱いになるという決まりがあるって感じなのですね、、？。？

そうです。

この前提が無いと、∫[0→2]f(t)dtのf(t)の部分にf(t)=2t+Aを代入するということができません。

補足

あーなるほど、、疑問が解決したような気がします；；

「質問」
例題に挙げた

f(x)=2x+∫[0→2]f(t)dt
という関数は関数f(x)が積分された値が
式の中に入っている、つまりf(x)という式の中に
積分されたf(x)が入っているというような
マトリョシカのような式なわけですね、、？。？

※
最終的に自分の言葉で正しく説明出来てこそ、正しい解釈の
担保だと考えています。くどかったらごめんなさい；；

※正しければYES,間違っていればNoというような
解答が第一に欲しく、その後他の言葉が続くような
解答だと非常にたすかります；；

回答No.7

sknbsknb2

回答No.2です。

恐らくあなたが理解できていないのは、f(x)とf(t)が同じ関数であるということです。
変数が違っているので違う関数だと解釈してしまっているのではないでしょうか。

例えば、f(x)=x^2をf(v)=v^2と書いたとしても、「変数を2乗すると値が決定する関数」という意味で、本質的に同じものです。
つまり、同じ設問中で変数を"?"としてf(?)と書いたなら、その中身は同じ式で表されないといけません。中身の式が違うならg(t)とか書く必要がありますから。

同じ設問中で、
f(x)=2x-4
f(t)=3t+5
などという関係は両立しないので、中身の式が違うなら、
f(x)=2x-4
g(t)=3t+5
というような書き方になります。f(?)と書かれているなら、
f(x)=2x-4
f(t)=2t-4
が保証されています。

個人的には、∫[0→2]f(t)dtの部分を∫[0→2]f(x)dxと書くほうがわかりやすかったのではないかなと思います。

補足

あ、私がつまずいていた所より明確になった気がします、、

f(x)=4x+1のような関数をf(t)=4t+1にしても
本質的には変わらないよねというのは理解していました。

>>同じ設問中で、
f(x)=2x-4
f(t)=3t+5
などという関係は両立しないので、中身の式が違うなら、

これ、これ知りませんでした。馬鹿なので、、、

「質問」
同じ設問中に頭文字が同じの関数が出てきた場合は
同様の扱いになるという決まりがあるって感じなのですね、、？。？

すみません、くどい聞き方で、、一応確認の為に、、
解釈が正しければ、YesかNoかのような、端的な解答がほしいです、、、！
間違っていたり、正しくとも補足の説明などがあれば追加しておしえてほしいです、おねがいします；；

回答No.6

tmppassenger

さっきの補足で、（もう一回繰り返し書いて）
f(x) はとにかく何かの関数で、
g(x) = 2x + { ∫[0→2] f(t)dt } として g(x)を定義した時、

例えば g(0) = { ∫[0→2] f(t)dt }, g(1) = 2 + { ∫[0→2] f(t)dt }, g(2) = 4 + { ∫[0→2] f(t)dt }, .g(3) = 6 + { ∫[0→2] f(t)dt }.... となって、

g(1) - g(0) = g(2) - g(1) = g(3) - g(2) = g(4) - g(3) = ..... = { ∫[0→2] f(t)dt } となるのは分かりますか？

回答No.5

tmppassenger

では、一旦 f(x)はとにかく何かxの関数で、
g(x) = 2x + { ∫[0→2] f(t)dt } として g(x)を定義した時、

∫[0→2] g(x) dx = 4 + 2 { ∫[0→2] f(t)dt }

となるのは理解出来ますか？これが何故だかが分からない？

これが理解出来るなら、これを
∫[0→2] g(x) dx = 4 + 2 { ∫[0→2] f(x)dx }
と書いてもいいことは分かりますか？

回答No.4

asuncion

関数f(x)が、f(x) = 2x + ∫[0~2]f(t)dtをみたすとき、f(x)を求める。
∫[0~2]f(t)dtの値は、tに依存しない定数。これをAとおくと、
f(x) = 2x + Aとなる。ここでfという関数が何をしているかについて考察する。
fという関数は、何か引数を与えると、それを2倍した値に何かの定数を加えた値を返してくれると思えばよい。ここでいう何かの引数とは、
xでもtでもaでもbでも何でもよい。とにかくもらった値を2倍して、それに何かの定数を加えた結果を返す、と考えればよい。
したがって、fという関数にtを渡した結果、つまりf(t)の値は2t + Aとなる。
∫[0~2]f(t)dt
= ∫[0~2](2t + A)dt
= [t^2 + At][0~2]
= 4 + 2A
= A
よりA = -4
∴f(x) = 2x - 4

回答No.3

asuncion

＞従って∫[0→2]f(t)dtは被積分関数でもあり定数でもあると
＞私は解釈していました。

その定積分において、結果は定数→これは正しい
∫[0→2]f(t)dtは被積分関数→これは誤り、被積分関数はf(t)

∫[0→2]f(t)dt
ちゅうのは、f(t)ちゅう関数がどんな式かは「今は」知らんけど、
0から2まで定積分した結果やからその値はtによらない定数、
そやさかいその値をAとでもおいて続きを計算しとる。

補足

解答ありがとうございます。

>>ちゅうのは、f(t)ちゅう関数がどんな式かは「今は」知らんけど、

そうです、めっちゃそうなんです。
疑問を文章化するのが少し難しかったので
私がこの式を見た時の心の声という形で疑問を
文章化しました。下記がその心の声です。
-------------------------------------------------

f(x)=2x+∫[0→2]f(t)dt

積分区間が定数から定数なので、∫[0→2]f(t)dtを定数として扱えるのわかるわ。たしかにf(x)=2X+Aと考えることができるわ。
でも被積分関数のf(t)がどんな関数であるか分からないから、積分の基本公式が使えないじゃん。
f(t)が6t+3とか6t+t^4とかかもしれなくて、f(t)が分からない限り、積分できないじゃん。
え、なんでf(t)=2t+Aなの。なんでいきなりf(x)とf(t)が同様の関数になってるの、、という感じでして、、

-------------------------------------------------

>>その値はtによらない定数
おそらく私この部分の理解が出来ていないみたいです、、
この部分について詳しくおしえてもらえませんか；；

回答No.2

sknbsknb2

∫[0→2]f(t)dtの中には、f(t)という関数が書かれていますが、全体としては定積分なので、定数Aになります。これはf(t)の中身がどうであろうが定数であることに変わりはありません。あなたはf(x)の中にf(t)が含まれていると勘違いしていますが、∫[0→2]f(t)dt=Aという定数が含まれているだけなのです。

f(x)=2x+Aがf(t)=2t+Aになるのがわからないということですが、単純に変数をxからtに変えただけで、x軸にt、y軸にf(t)をとってグラフを描くなら、両者は同じなのだということがわかります。変数をtにしたのは、∫[0→2]f(t)dtに代入するためにそうしただけで、それ以上の意味はありません。

補足

解答ありがとうございます。

>>あなたはf(x)の中にf(t)が含まれていると勘違いしていますが、

ここについてお聞きしたいです。

∫[0→2]f(t)dtは積分区間が決まっているので、定数として
考えることが出来ます。従って∫[0→2]f(t)dtは被積分関数でもあり定数でもあると私は解釈していました。
しかし∫[0→2]f(t)dtは被積分関数ではないということでしょうか？

回答No.1

gamma1854

定積分の上端、下端が「定数」ですから、結果は定数です。それゆえ、Aなどとおいているのです。