二重積分の解法

質問

次の問題の解き方に悩んでいます。

∫∫ (x^2 + y^2) dxdy
（ただし、 x^2 + y^2 ≦ 1）

この式を自分なりに下記のように解いてみました。
dyは-(1-x^2)^1/2 ～ (1-x^2)^1/2、dxは-1～1の積分範囲としました。

∫ dx ∫ dy = ∫ 2(1-x^2)^1/2 dx
= 2[ 1/2 ( x(1-x^2)^1/2 + arcsin x )] （ここでdxなので[ ]内の積分範囲-1～1）
= π/2 - (-π/2) = π

としてみました。しかし、問題集では答えがπ/2となっています（解法は載っていない）。
上の解法のどこ（積分範囲？）が誤っているのでしょうか？

回答No.1

Milk2005 · ベストアンサー

この問題は、(x,y)→(r,θ)と変数変換すれば解けます。
x^2+y^2=r^2 , dxdy=rdrdθ
積分区間 0≦r≦1 , 0≦θ≦2π
で解いてみてください。答えはちゃんとπになります。

あなたの解法がよくわかりませんでした。
∫∫ (x^2 + y^2) dxdy ではなく∫∫dxdyを計算して・・・？　あなたの解法のどこが間違っているかが気になるのでしたら、解法の意図をもう少し書いてもらえますか

お礼

極座標に変換すればスマートなやり方になるんですね。
よくよく考えてみれば、私の方法では x^2+y^2 を積分してることになってませんね。
何か果てしなく勘違いをしてたようでした。
とても参考になりました。ありがとうございます。

回答No.5

Milk2005

ANo.#1です。
ANo.#4さんの指摘どおり、πというのは単なる書き間違いでした。計算するとπ/2になります。

書き間違いによって混乱させてしまってすみませんでした。

回答No.4

oyaoya65

A#1さんのの指摘通りで
質問者さんの解答は
∬D (1)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦1}
の積分をしていることになります。

∬D (x^2+y^2)dxdy, D={(x,y)|x^2+y^2≦1}
の積分の方法はA#1さんの極座標への変数変換の方法が最もオーソドックスなやり方ですね。
つまり積分は
∬D' r^3 drdθ, D'={(r,θ)|0≦r≦1,0≦θ≦2π}
=2π∫[0,1] r^3 dr
=2π*(r^4)/4|[0,1]
=π/2
となりますね。
A#1さんの回答の答えのπは単純ミスで
質問者さんの質問の問題集の答えのπ/2が正しいですね。

お礼

極座標を使った解法のご説明ありがとうございます。
A#1さんとともに、大変参考になりました。

回答No.3

noname#98991

すいません。下で書いたんですが
2(1-x^2) = x^2 + y^2だと思いましたが、原文をみると、
^1/2が。。。
ということで、よくわかりません。ごめんなさい。

回答No.2

noname#98991

2(1-x^2)^1/2＝x^2 + y^2
としてるとこ？
これだとx^2＝y^2の積分です。