極値をとるa,bを求める問題について教えてください

質問

関数f(x) = x / (x^2 + ax + b) がx=1で極大値1/2　をとるという。　このとき定数a,bの値を求めよ。

この問題が全然わかりません。
極値を求めろ　ということは微分してf '(x)を求めて、
それが1/2になるようにすればいいのでしょうか？

回答No.2

mage_ruisseau · ベストアンサー

>>微分してf '(x)を求めて、それが1/2になるようにすればいいのでしょうか？
そういうわけではありません。

まず、x = 1 で極大値をとるので、x = 1 での f (x) の傾きは 0 になる、すなわち、
f '(1) = 0　　　・・・(1)
となることが必要です。

次に、関数 f (x) は x = 1 で 1/2 という値をとるので、
f (1) = 1/2　　　・・・(2)
です。
(1)、(2)より、
a = 0 , b = 1
が求められます。

ここで、問題文をよく読んでみましょう。
「x = 1で『極大値』 1/2」
となっていますが、a と b の値を求めただけでは x = 1 で極大値をとるかどうかはわかりません。何故なら、x = 1 で極小値をとるかもしれませんし、極値をとらないかもしれない（例：f (x) = x^3 の x = 0 のときのようなもの）からです。
なので、f (x) に a = 0 , b = 1 を代入して、実際にグラフを描き、確かに極大値をとることを示すという作業を入れなければなりません。
グラフを描くと、（この作業はご自身で行ってください。）確かに x = 1 で極大値をとることがわかります。
よって、a = 0 , b = 1 です。

なお、f '(x)= (-x^2+b)/(x^2+ax+b)^2 です。

乱筆乱文をお許し下さい。

お礼

なるほど。よくわかりました。
詳しい説明ありがとうございました。

回答No.1

ferien

関数f(x) = x / (x^2 + ax + b) がx=1で極大値1/2　をとるという。　このとき定数a,bの値を求めよ。

この問題が全然わかりません。
極値を求めろ　ということは微分してf '(x)を求めて、
>それが1/2になるようにすればいいのでしょうか？

ｘ＝１のとき、ｆ（ｘ）の値が１／２ということだから、ｆ（１）＝１／２
x=1で極大値になるから、ｆ'（ｘ）＝０の解が１であるということだから、ｆ'（１）＝０
この２つの式からａ、ｂについての連立方程式が作れるから、ａ、ｂの値が求められます。

ａ＝０、ｂ＝１になりましたが。。やってみて下さい。