微分法の問題について

質問

関数f（x）=x^3+ax^2-9x+bがx=-1で極大値8をとるように、定数a,bの値を定めよ。また、極小値を求めよ。という問題が分かりません。教えてくださいおねがいします。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

f(x)=x^3+ax^2-9x+b
f '(x)=3x^2+2ax-9

x=-1で極大値8をとることから
f(-1)=-1+a+9+b=a+b+8=8 → a+b=0
f '(-1)=3-2a-9=-2(a+3)=0 → a=-3
∴ a=-3, b=3
この時
　f(x)=x^3-3x^2-9x+3
　f '(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)
f '(x)=0とするxは x=-1, 3
　f ''(x)=6x-6
　f ''(-1)=-12<0 → x=-1のとき極大値f(-1)=8をとる。
　（条件を満たしていることが判る）
　f ''(3)=12>0 → x=3 で極小値 f(3)=-24 をとる。

（答）a=-3, b=3, 極小値f(3)=-24

回答No.2

shintaro-2

>関数f（x）=x^3+ax^2-9x+bがx=-1で極大値8をとるように、定数a,bの値を定めよ。また、極小値を求めよ。

まず
f(-1)=8であることは明らかです。
そして、極大なのですから
f'(-1)=0で
f'(x)がX=-1の前後で増加、減少となっていなければいけません。
つまりf'(x)>0[x<-1]、f'(x)<0[x>-1]

あとはx=-1以外でf'(x)=0となる場所があるはずですから
そこでf'(x)=bとなるということです。

１階微分、２階微分について
何を意味しているのか復習してください。

回答No.1

bran111

>f（x）=x^3+ax^2-9x+bがx=-1で極大値8をとるように、定数a,bの値を定めよ。また、極小値を求めよ。

f'(x)=3x^2+2ax-9

x=-1で極大値8をとるためには

f'(1)=3-2a-9=-2a-6=0

ゆえに

a=-3

f(-1)=-1+a+9+b=8

a=-3を用いてbを求めると

b=3

よって

f(x)=x^3-3x^2-9x+3

f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)=0

によりx=3で極小値をとる。

f(3)=-24

答え

a=-3, b=3, 極小値＝-24