微分 極値をもつ条件

質問

極値をもつ条件、という題で出題されている問題なのですが、
３次関数 f(x)=ax^3-6x^2+(a-1)x について、
つねに増加する時の定数aの値の範囲を求めろ、という問題で、
まず、f(x)を微分し、f'(x)>0であれば常に増加するというのは分かります。
しかし、解答を見ると、（判別式）<0であれば良いとが記されています。
常に増加する際に、判別式で虚数解を持てば良い、という部分が考えても分かりませんでした。
この点について何方か解説お願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

関数f(x)がf’(c)=0かつf’’(c)>0なる点cを持てばx=cで極小、
f’(c)=0かつf’’(c)<0なる点cを持てばx=cで極大となる。

つまり、f(x)が極点を持つにはf’(x)=0が実数解を持たなくては
ならない。この解が極点の候補になる。そして、この解のところで
のf’’(x)の正負を調べることになる。正ならば極小、負ならば
極大である。０ならば変曲点である。

f’(x)=0が実数解を持たないということは、判別式＜０であり、
このときf(x)は極点を持たない。つまり、単調増加か、単調減少
である。

問題では、判別式＜０でa＞０ならf(x)は単調増加、a＜０なら
f(x)は単調減少。

回答No.4

mis_take

> 解答を見ると、（判別式）<0

正しくは，
f(x)が常に増加する
⇔f'(x)が常に≧０
⇔ａ＞０ かつ 判別式≦０
です。

たとえば，
y=f(x)=x^3 は常に増加
f'(x)=3x^2≧0 （x=0 のとき f'(x)=0 になる）

回答No.3

y_akkie

微分して得られる導関数は二次関数となります。
常に増加するのであれば、微分係数は常に＞０になります。
よって、得られた二次関数が常に正になるようにaの範囲を
求めれば良いだけです。

回答No.2

lick6

f(x) = ax^3 - 6x^2 + (a-1)x
f'(x) = 3ax^2 - 12x + (a-1)
f'(x) > 0 ですからつまり
　3ax^2 - 12x + (a-1) > 0
すべての x でこうなる a の範囲を求めるということになります。
ここで g(x) = 3ax^2 - 12x + (a-1) としてグラフを考えてみると
g(x) > 0 ということは放物線がｘ軸の上に常にあるということです。
判別式の性質として
D > 0 ならば　異なる二つの実数解を持つ(x軸と2箇所で交わる)
D = 0 ならば　一つの重解を持つ(x軸に一ヶ所で接する)
D < 0 ならば　異なる二つの虚数解を持つ(実数解を持たない、つまりx軸とは交わらない)
これらの中で必要な条件は D < 0 ですよね。
あとは a の値に気をつければ求められます。