極値判定条件

質問

２変数関数ｚ＝ｆ(ｘ,ｙ)が点Ｐ(ａ,ｂ)の近傍で２回偏微分可能で
その第二次偏導関数がすべて連続とする。さらにｆ(ａ,ｂ)をｘで偏微分したものとｆ(ａ,ｂ)をｙで偏微分したものがともに０であるとする。
Ａをｆ(ａ,ｂ)をｘで２回偏微分したもの
Ｈをｆ(ａ,ｂ)をｘとｙで偏微分したもの
Ｂをｆ(ａ,ｂ)をｙで２回偏微分したもの
Δ＝Ｈ~2ーＡＢ
とおくとき
１）Δ＜０かつＡ＞０ならば関数ｆ(ｘ,ｙ)は点Ｐ(ａ,ｂ)で極小値
２）Δ＜０かつＡ＜０ならば関数ｆ(ｘ,ｙ)は点Ｐ(ａ,ｂ)で極大値
３）Δ＞０ならば関数ｆ(ｘ,ｙ)は点Ｐ(ａ,ｂ)で極値をもたない

ということを教わりました。何か１次変数２次関数の判別式と似ているなぁという感じで覚えることはできるのですが、理論・導出過程がわかりません。
もし分かる方がいらしたらお願いします。

回答No.1

eatern27

厳密な証明はあれなので,大雑把な流れを簡単に・・・。

f(x,y)の１階微分がゼロとなる点の周りでテイラー展開すると、
f(x,y)＝(A/2)x^2+Hxy+(B/2)y^2　+(3次以上の項)
となります。
※本質的でないので、ゼロの周りでテイラー展開、f(0,0)=0とします。
※x,yを十分小さくとって、3次以上の項は無視します。

これをxについて平方完成すると　
f(x,y)＝(A/2)(x+Hy/A)^2 - Δ/2A y^2
のような感じになるはずです。

a,b≠0に対して、g(X,Y)=ax^2+by^2が、
1) a,b>0の時に原点で極小値
2) a,b<0の時に原点で極大値
3) a,bが異符号の時に原点で鞍点(極小でも極大でもない)
となる事を照らし合わせると、仰るような判別条件が得られます。

＞何か１次変数２次関数の判別式と似ているなぁという感じで覚えることはできるのですが
まぁ、平方完成とかは２次方程式の解の公式を導くのと同じですからね。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございます。
御礼が遅くなり申し訳ありません。
これからもよろしくお願いします。