微分の問題

質問

数学の問題について質問させてください
この問題の解答はこれででよいのでしょうか？
だれかアドバイスおねがいします。

問 f(x)=ax^4+bx^2+c(a≠0)が極大値をもつためのa,b,cに関する条件を求めよ。

自分の考え

１） ａ＞０のとき：
f(x)が極大値を持つためには、極値を３つ持つ。
これを数式で考えると、f'(x)＝０を満たす実解が３つなければならないため、
f'=4ax^3+2bx
=2x(2ax^2+b)
f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)＝０ なので、
ｂ／2ａ＜０
∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）
このとき、極値は ｘ＝０、±√(-b/2a) と３つ持ち、極大値を持つ。

２） ａ＜０のとき：
f(x)のグラフの形は、ωを逆さにしたような形になり、パラメータａ，ｂ，ｃがどんな値であっても必ず最大値を持つため、必ず極大値を持つ。
従って、ａ＜０のときは、ｂ、ｃについての条件はない

また、ｃについては、グラフを上下させるだけなので、極大値の個数には関係がない。

従って答えは ａ＞０かつｂ＜０ またはａ＜０

となる。

もし、間違っている箇所があるならご指摘お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問の回答
>１）のところの
>　f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)＝０ なので、
ここは、
f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)=0
が常に成り立つ分けではないので
「f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)(a>0)なので　f'(x)＝０が 異なる3実解を持つ為の条件は」
とでも書いた方が良いでしょう。
>　ｂ／(2ａ)＜０
>∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）
>と書いたのですが、
上のように修正すればこれでも良いでしょう。

>
>ここはｂ／ａ＜０より、∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）となるでもよいのでしょうか？
上の修正をした上でなら、分母の２は書かなくても良いです。
（2を書かない方はすっきりしますね。）

回答No.1

info22

合っていると思います。

補足

回答ありがとうございます。

１）のところの
　f'(x)＝2ax(2x^2+b/a)＝０ なので、
　ｂ／2ａ＜０
∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）
と書いたのですが、

ここはｂ／ａ＜０より、∴ ｂ＜０ （∵ａ＞０）となるでもよいのでしょうか？

教えてください。