極値をとる⇒f'(a)=0の逆の確認

質問

高校数学IIからの質問です。
『f(x)がx=aで極値をとる⇒f'(a)=0が成り立ち、その逆は常に成り立つとは限らない』というのは理解できたんですが、例えば『関数f(x)＝Ｘ~3＋ａＸ~2＋ｂＸ＋１は、Ｘ＝１で極大値９をとる。このとき、定数ａ、bの値を求めよ』のような問題を実際に解くとき、逆の確認はそれほど大事なことなのでしょうか？確認しないと何か大きな問題が生じる場合もあるのでしょうか？
宜しくお願いします。

回答No.6

arrysthmia · ベストアンサー

A No.3 の類題を実際に解いてみれば、
十分性を確認しないと解でないものが混入する
事態が体験できますよ。

極大と極小の違いが気になるなら、
『関数 f(x) = x^3 + (a - 3) x^2 + (3 - a^3) x + b が
x = 1 で極大値 9 をとる。』なんかを考えてもよいのですが、
そこがポイントではない気がします。

因みに、f '(a) = 0 かつ f ''(a) < 0 は、
f(a) が極大値であるための　十分条件　であって、
必要条件ではありません。

実際、g(x) = 9 - (x - 1)^4 は、
x = 1 で極大値 9 を持ちますが、g ''(1) = 0 です。

お礼

返信遅れてすみません。
回答ありがとうございます。大変参考になりました。

回答No.5

incd

例に挙げられている問題の場合ですが、
「極値」ではなく「極大値」という言葉を使っています。ですから、
f'(a)=0 に加えてf''(a)<0 という条件も必要で、この確認は高校・大学を問わず必須でしょう。

お礼

返信遅れてすみません。
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回答No.4

koko_u_

質問の内容が意味不明なんですけど。

>その逆は常に成り立つとは限らない』というのは理解できた
理解できたにもかかわらず、

>逆の確認はそれほど大事なことなのでしょうか？
逆の確認をする必要性が感じられないのは何故なのでしょう。

単純に命題の矢印 ⇒ が両側に付いていないことを見て取ったとしても、それでは「理解できた」とは言い難いですよ。

お礼

回答ありがとうございます。
もうちょっと勉強します。

回答No.3

noname#168349

f'(a)=0であっても、x=aの前後でf'(x)の符号変化がなければf(a)は極値ではありません。得られた結果が題意を満たすかどうかの確認は必ず行ってください。
例えば
f(x)=x^3+ax^2+bx+a^2が、x=1で極値10をもつように、a,bの値を定めよ。
という問題を解いてみれば逆の確認が高校程度でも必要であることがわかるでしょう。

お礼

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回答No.2

Tacosan

導関数が連続でも, f(x) = x^3 だと困ったりしますね.

お礼

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回答No.1

exodus55

質問者様のおっしゃっている逆が成り立たない例としてはy=abs(x)(abs()は絶対値だと思ってください。)などがあります。つまりある点で連続していない場合などがその例に該当します。
f(x)=x^3+ax^2+bx+1はどう考えても連続でない点が考えられないので特別逆は考えなくても大丈夫でしょう。でもf(x)=x^3+ax^2+b{abs(x)}+1みたいな問題だとちょっと考える必要があると思います。

まぁ高校生レベルでは特別必要じゃないですよ。

お礼

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