位数５６の単純群は存在しない

質問

シローの定理から７－シロー群、２－シロー群が各々８個、７個あるのは、分かるんですがそっからどーすればいいのか分かりません。どーすりゃ良いんですか？

回答No.2

sedrft1

Sylow の定理を用います。　56 = 7×2^3 です。
7-sylow 群の個数は 7 を法として 1 余る、8 の約数です。
2-sylow 群の個数は 2 を法として 1 余る、7 の約数です。
sylow 群 の個数が１個ならばそれは正規部分群です。
7-sylow 群の個数が８個であったと仮定して、 2-sylow 群の個数が１個であることを示します。
８個の 7-sylow 群を P1,...,P8 とします。
この時、各 Pj は位数 7 の巡回群なので、 Pi ∩ Pj = {e}　( 1 ≦ i ＜ j ≦ 8 ) を満たします。
単位元 e 以外の元は全て異なり、位数７の元が 6×8 = 48 個 存在します。
この集合を S と表し、S = ∪j(Pj-{e}), T = G - S とします。
任意の 2-sylow 群 Q に対して、 |Q|=8 より S ∩ Q = φ となり、 Q ⊆ T を得ます。
元の個数をくらべれば Q = T を得ます。 よって、 2-sylow 群 は Q = T ただ一つとなり、正規部分群です。
この群は正規部分群を持つため単純群ではありません。

回答No.1

yoikagari

ここに位数120までの有限群の分類がありますので参照ください
位数56の群は49～52ページにあります。

追記
全体で93ページありますので、ご注意ください。
また下記のファイルを読むためには、Adobe Reader をインストールする必要があります。

参考URL：

http://www.akanekodou.sytes.net/math/pdf/finite_group.pdf