直積の問題なんですが・・・

質問

Ｈ，Ｋが群Ｇの部分群であるとき外部直積Ｈ×ＫからＧへの写像ψを
　　ψ：Ｈ×Ｋ→Ｇ　,　（ｈ,ｋ）→ｈｋ
と定義する時この写像ψが群の同型写像であるための必要十分条件は次の条件（1）（2）
が成立することである。これを証明せよ。
（1）Ｈの任意の元とＫの任意の元が可換である。
（2）Ｇ∋aはa＝ｈｋ（ｈ∈Ｈ,ｋ∈Ｋ）と一意的に表される。
という問題なんですが、まず（1）→（2）を証明しようとしたのですが
（1）の可換という条件からｈ１,ｈ２∈Ｈ　ｋ１,ｋ２∈Ｋとして
準同型写像を考えて
ψ（（ｈ１,ｈ２）（ｋ１,ｋ２））
＝ψ（（ｈ１ｈ２,ｋ１ｋ２））
＝ｈ１ｈ２ｋ１ｋ２
＝ｈ１ｋ１ｈ２ｋ２
＝ψ（（ｈ１,ｋ１））ψ（（ｈ２,ｋ２））
くらいしか思いつかなかったのですが（2）の条件をどう証明してよいのかわかりません。
アドバイスよろしくお願いします。（1）→（2）の証明ができていないので当然（2）→（1)の証明もできていないのですが・・・

回答No.2

noname#24477

同型は１対１、上への写像だと思いますが
（２）がないと１対１がいえません。

回答No.1

noname#24477

何を証明したいのでしょう？

（１）（２）の両方が成り立つ⇔Ψ　は同型写像である。

を証明するんですよね。

（１）→（２）を証明することはないと思いますが？（証明できるのかな？）

補足

あっ確かにそうですね・・・いつも必要十分条件が出るとそういう証明してたのでつい・・・ということはご指摘通り『（１）（２）の両方が成り立つ⇔Ψ　は同型写像である。』を証明すればよいことになりますが、（２）の条件がいまいちわからないのですが・・・一意的という条件は同型写像という条件にどう使うのでしょうか？アドバイスよろしくお願いします！！