モジュラー群の生成

質問

命題

モジュラー群ＳＬ（２、Ｚ）は、二つの元Ｓ＝（　０　１　）とＴ＝（１　１）から生成される。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（－１　０　）　　　　（０　１）　

この命題はＳとＴの生成する部分群をＨとし、Ｈ＝ＳＬ（２、Ｚ）を示せばいいですが、

定義からＨ⊂ＳＬ（２、Ｚ）はすぐにわかりますが、ＳＬ（２、Ｚ）⊂Ｈがうまく示せません。

お手数掛けますが、ＳＬ（２、Ｚ）⊂Ｈの詳細な証明お願いします。

回答No.5

metzner

No4の証明の一部を簡単化できることがわかりましたので書きます。

SL(2,Z)にどんな行列が入っているかを知る（想像する）には、いままで書いたことが役に立つと思いますが、単にS,Tで生成されることを証明するだけなら、「互いに素」に言及している部分は略せます（|a|=|c|の場合分けは不要）。すなわちac\=0の場合
No4で書いたとおり、S,TをAに掛けてaをcで割る操作を繰り返して、
| ** *** |
| 0 ****|
の形のSL(2,Z)に属する行列にできる事のみを言えば（これは除法の性質からあきらか）、あとはac=0の話につなげられます。

回答No.4

metzner

No.2です。　前のより簡潔に書けると考えなおしたので、それを書きます。

A=
|a b|
|c d|

がSL(2,Z)に属しているとします。すなわちa,b,c,dは整数でad-bc=1.

ac=0の時は、No2に書いたとおり、AはS,Tから生成されます。

ac\=0の時を考えます。

|a|=|c|の場合は、|a|=|b|=1の場合しかなく、この場合もAの形は容易で、これも
S,Tから生成されることが簡単な計算でわかります。

よって最後は|a|\=|c|,ac\=0の場合を考えればよいです。
この場合No2で書いたとおり、|a|,|c|は互いに素です。

S*A=
|c d|
|-a -b|

でaとcを入れ替えることができるので、|a|>|c|を仮定してもよいです。
aをcで割って
a=n*c+r, |r|<|c|
とします。

T^(-n)*A=
| a -nc b-nd |
| c d |
=
| r b-nd|
| c d |
です。これに左からSをかけると、
S*T^(-n)*A=
| c d |
|-r -b+nd|

であり、|c|>|r|です。よって前と同じ条件となり、
上の繰り返すと|a|,|c|が互いに素より
有限回数のS,Tを同様に掛ける操作で、
| 1 ** |
| 0 ***|
の形にできます。そして今AはSL(2,Z)の元で、S,Tもそうであるから、この行列も
SL(2,Z)に属しています。そしてこれはc=0の場合ですから、これは既に示したように
S,Tで生成されます。

以上よりAがS,Tによって生成されることがわかります。

回答No.3

metzner

No2です。a,c=1 or -1 のときの言及がぬけていましたが、その場合も具体的計算でS,Tで生成されることがわかります。

回答No.2

metzner

私は以下のように考えました。細かな間違い等は自助努力で訂正してください。

まず
A=
|a b|
|c d|

がSL(2,Z)に属しているなら、a,b,c,dは整数で、ad-bc =1を満たさなければなりません。
この式から、互いに素、ユークリッド互除法というものが思い浮かびます。

S^2 =-E　 (S^3 =-S),

T^n
=
|1 n|
|0 1|
は容易にわかります。ここでnは整数です。

まずac=0の場合を考えましょう。a=0もしくはc=0でなければなりません。
c=0ならad=1より(a,d)=(1,1) or (-1,-1)でなければなりません。
この時
A=
|1 b|
|0 1|

or

|-1 b|
| 0 -1|

の形です。これらはそれぞれ T^b, S^2T^(-b)と表せることが計算で容易に示せます。

a=0なら　-bc=1より(b,c)=(1,-1), (-1,1)です。よって
A=
|0 1|
|-1 d|

or

|0 -1|
|1 d|

となり、これらはそれぞれ、
S*|1 -d|
|0 1|
S^3*|1 d|
|0 1|
となります。直上式はc=0の形に相当しますから、これらはS,Tで生成されます。
よって以上でac=0の場合はS,Tで生成されることがわかります。
次にac\= 0の場合を考えます。この時a,cは互いに素でなければなりません。
なぜならad-bc=1となる整数解b,dが存在しなければならないからです。
よってSL(2,Z)の元Aはac\=0の時は、a,cは互いに素で、b,dはax-cy=1の解です。
この１つの解はユークリッド互除法で求めることができます。ひとつの解(b,d)が
求まれば、その他の解はnを整数として、(b+na,d+nc)で尽くされます。
すなわちSL(2,Z)の行列は、既に分析したac=0の場合の形と、ゼロでない互いに素の整数a,cをあたえ、ax-cy=1のひとつの解を(b,d)とした時、nを整数として
|a b+na|
|c d+nc|
で尽くされることになります。
これでSL(2,Z)の中身が見えてきました。あとはS,Tで生成されることを見ればよい。
このa,cにユークリッド互除法を適用します。
r_1 = a, q_1 =b として
r_1 = k_1*q_1 + R_1
r_2 = k_2*q_2 + R_2 (r_2 = q_1, q_2 = R_1)
........
r_(N-1) = k_(N-1)*q_(N-1) + R_(N-1)
r_N = k_N*q_N + 1　( r_N = q_(N-1), q_N = R_(N-1) )
となり有限回数で最後の式を得ます。
最後の式より
行列C=
| r_N k_N |
| q_N 1 |
はT^(k_N)*S*T^(-q_N)*S^3と表現できます。
ユークリッド互除法の最後の式とその次最後の式より、
1 = r_N -k_N*q_N = -k_N*r_(N-1) +(1+k_N*k_(N-1))*r_(N-1)
となります。すなわちr_(N-1),q_(N-1)に対して、r_(N-1)*x-q_(N-1)*y =1となる
1つの整数解(x,y)が上式のように見つかります。これをさかのぼれば、a=r_1, b=q_1に
対する整数解が見つかります。この演算をCにS,Tをうまく掛けることにより、行列
| r_(N-1) y|
| q_(N-1) x|
と表現することができます。（ここは自助努力でしてみてください。試行錯誤すればわかります）
よって帰納法より、Cから出発してS,Tを掛けたりすることにより、
|a b|
|c d|
というものが生成されます。（ad-bc=1を満たして生成される）
上式にT^nを右から掛けると、
|a b+na|
|c d+nc|
となり、ゼロでない互いに素のa,cを与えたて固定した時にSL(2,Z)に属する元はすべてS,Tから生成されることがわかります。

以上よりSL(2.Z)はS,Tで生成できます。

回答No.1

alice_44

http://okwave.jp/qa/q7128396.html