数学III 極限

質問

lim(n→∞) n / √(n^2+2) - √n

分子はnだけで、分母は∞-∞の形になっています。
とりあえず有理化しました。
lim(n→∞) n*{√(n^2+2) + √n} / n^2-n+2
となりました。
分母の最大の次数のn^2で割りました。
すると、分母は1で、分子が1/n * {√(n^2+2) + √n}
0に収束かと思ったんですが、これでいいのでしょうか？
分子に違和感が・・・。
お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

間違いは、(1/n){√(n^2+2) + √n} が →0 ではないこと。
1/n を √ 内に移動すれば、
(1/n){√(n^2+2) + √n} = √(1+2/n^2) + √(1/n) → 1 + 0 となる。
なぜ、→0 になると思ったの？

有理化は、f(n)→∞, g(n)→∞ のとき
1/{√f(n) - √g(n)} = {√f(n) + √g(n)}/{f(n) - g(n)} と変形すれば、
√f(n) - √g(n) のままでは整理しようがなかった不定型が、
f(n) - g(n) では上手く ∞ が相殺できる場合がある。その際は有効ということ。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

n が大きいとき、√(nn+1)≒n であることに気づくとよかった。
有理化が有効なのは、√∞±√∞ の２つの √ が
同じくらいの大きさの ∞ である場合です。
今回は、√(nn+1)≫√n なので、有理化はあまり効果がありません。
分子分母ともに n 程度の大きさだから、n で約分してみる
ことが有効でしょう。多項式÷多項式 の極限と
、考え方は一緒です。

補足

回答ありがとうございます。
有理化した場合、具体的に何がいけないのか教えてください。
答えが違うので間違っていますよね

また
>有理化が有効なのは、√∞±√∞ の２つの √ が
同じくらいの大きさの ∞ である場合です。

とあるのですが、これは知りませんでした。
なぜそうなんですか？
プリントにいくつか問題があり、ほとんど同じ形の問題で
分母が「無限大マイナス無限大」になっている問題は
すべて有理化で処理していたのでこの問題も有理化してみたのですが・・・

回答No.1

hrsmmhr

根号内に1/nを入れましょう
1/n√(n^2+2)=√{(n^2+2)/n^2}
とか