極限のこと・・

質問

2^5は“二の５乗”の意です。√は（）まで含みます。
/ は分数です。

lim[n→∞]（ｎ+1）/｛√（n^2+2n）- √（n^2+n）｝…(1)
を解くのに有利化するのではなく、
分子、分母をnで割って、ｎ→∞とすると分子→１、分母→+0
よって(1)は+∞となる
と問題模範解答にあったのですが、このやり方は○になるんですか？分母が0にならないようにうまく変形しろと高校では習いましたが…どうなんでしょうか？？

もう一つ質問させてください。追い出しの原理で
lim[n→∞]（n^5-3n^4）
ここでn^5(1-3/n)≧n^5(1-3) …(2) (n≧１)
n→∞で∞・（-2）より-∞　としたら間違いでした。

模範解答は(2)で　n^5(1-3/4)　(n≧4)と評価して∞を答えとしていました。
なぜいけないのでしょうか？？

教えてください。。よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

一点め:
この問題に限っては、そのやり方でも ok。
有理式の極限を求める際の基本手技だが、
今回それが使えた理由は、答えが発散だったから。
有限値に収束する場合、同じようにすると
0/0 になってしまい、答えが出ない。
そこを何とかする技法が「有理化」という訳。

二点め:
その追い出し方では、与式≧-∞ しか言えてない。
そのこと自体は間違っていないが、
≧-∞ というだけでは、極限がどうなるのか
何も判らない。
まして、与式=+∞ を示したことにはならない。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

alice_44

いや、
nの5乗-3nの4乗 = (nの5乗)(1-3/n) ≧ (nの5乗)(1-3)
は、評価が甘過ぎて極限の計算には役に立たない
というだけで、大きな n でもちゃんと
成立している不等式だからね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

info22_

>このやり方は○になるんですか？
○ですね。

>分母が0にならないようにうまく変形しろと高校では習いましたが…どうなんでしょうか？
これには前提条件があります。

0/0形、∞/∞形、∞-∞形、定数/(∞-∞)形の場合であることが前提条件です。

なので、前提条件に当てはまらない、定数/0形、定数/∞形、0/定数形、∞/定数型（定数はゼロでないとする）については模範解答のようにやっても構わないのです。

>模範解答は(2)で　n^5(1-3/4)　(n≧4)と評価して∞を答えとしていました。
>なぜいけないのでしょうか？？

nはn→∞を考えているため本来は非常に大きなn≧N(Nは大きな自然数)でないといけないということです。つまりNは「n→∞の時の性質を失わないように」Nを選ばないといけないということです。
ここではN≧4なのです。
なので模範解答はn≧N≧4なのでOKなのです。
質問者さんのnはn<Nのnを選んでいいるのでダメなのです。
そのため、間違った結果が導かれたのです。

つまり、n=1,2,3ではn→∞の時の性質を失っているので適用できないということです。

お礼

有難うございます。