教科書の極限の求め方が？

質問

lim〔n→∞〕2n/（n^2＋1）を求めるとき、私は2n/（n^2＋1）の分母だけにnを持っていくように分母分子をnで割って
lim〔n→∞〕2n/（n^2＋1）
＝lim〔n→∞〕2/（n＋1/n）
＝0と考えたのですが教科書はn^2で割ってlim〔n→∞〕2n/（n^2＋1）
＝lim〔n→∞〕（2/n）/（1＋1/n^2）＝0/1＝0
としていました。
質問１、私のやり方は間違いですか？それか通用する範囲が狭いんでしょうか？
質問２、教科書の場合、lim〔n→∞〕2n/（n^2＋1）を見て、どんな考え方の結果、nでもなくn^3でもなくn^2で割り、
lim〔n→∞〕（2/n）/（1＋1/n^2）＝0/1＝0
としたのでしょうか？
そもそもなぜ割ろうと思ったのでしょうか？（私のやり方も、どうして分母だけにnを集めたらうまくいったか分かりません…）
すみません、まだ数３は初めてなのでわかりません、教えてください。

回答No.2

muturajcp

あなたのやり方
(分子と分母のnの最高次数を比べて
分子のnの最高次数≦分母のnの最高次数
だから極限が0で次数の高い方の
分母だけにnを持っていくことができると判断して
(分子のnの最高次数)=1だからn^1=nで割る)
は正しいです。
教科書の場合は
(分子,分母のnの最高次数)=2だからn^2で割る
としたのですが、
あなたのやり方
(分子・分母のどちらか低い方の最高次数の項で割る)
の方が簡潔でよいと思います。
なお分子のnの最高次数≧分母のnの最高次数の場合は
極限が∞で次数の高い方の
分子だけにnを持っていくことができると判断して
分母のnの最高次数の項で割ることになります。
例)
lim_{n→∞}(n^2+1)/(n+1)=lim_{n→∞}(n+(1/n))/(1+(1/n))=∞
lim_{n→∞}(n+1)/(n^2+1)=lim_{n→∞}(1+(1/n))/(n+(1/n))=0

なお正確な極限の定義は以下のとおりです。
(極限の定義1)
lim_{n→∞}x_n=a
←def→
∀ε>0→∃n_0(∀n>n_0→|x_n-a|<ε)
(極限の定義2)
lim_{n→∞}x_n=∞
←def→
∀K>0→∃n_0(∀n>n_0→x_n>K)

任意の正実数ε>0に対して
自然数n_0>2/εが存在する
任意の自然数n>n_0に対して
n^2<n^2+1
1/(n^2+1)<1/n^2　,　1/n<1/n_0
2n/(n^2+1)<2n/n^2=2/n<2/n_0
|2n/(n^2+1)|<2/n_0<ε
(極限の定義1)から
∴lim_{n→∞}2n/(n^2+1)=0

回答No.1

htms42

極限値はｌｉｍの記号の意味に沿って一度値を入れてみるというのが納得するのに一番いい方法だと思います。どういう変形をすれば結果がうまく見えてくるかは値を入れた時の変化を踏まえています。

ためしに
ｎ＝１，１０，１００，１０００、・・・
と入れてみて下さい。
分母のｎ^2、分子のｎの比で決まってくるというのが分かります。

ｎ、ｎ^2、ｎ^3、・・・という量の中でｎを大きくして行った時に一番大きくなるのはどれでしょう。
一番次数の高い（指数の大きい）量ですね。
これを踏まえると
極限値は式の中に現れている一番次数の大きいものによって決まるというのが分かります。
今の問題では分母にあるｎ^2です。
ｎ^2で割るという操作はここから来ています。

あなたの式でも
＞lim〔n→∞〕2/（n＋1/n）
＝lim〔n→∞〕2/（ｎ(１＋1/n^2））
とすれば教科書に出ている式と同じになります。

分母にｎを集めると発想するのは分母を特別扱いするということです。
一番次数の高い量に着目するというのは、分母、分子のどちらかを特別に見ているわけではありません。
極限値が０になる場合、定数になる場合では違いが出てこないかもしれません。
極限値が∞になる場合、分母にｎを集めると１／(１／ｎ)　という回りくどい式になってしまいます。これならはじめから分子にｎを残しておいたらいいはずです。次数の一番高い量に着目すると自動的にこういう処理ができています。