数IIIの数列の極限に関して

質問

a[1]=5 , a[n]=(13a[n-1]-15)/4(a[n-1]-1) (n≧2)で与えられる数列
がn→∞で発散か収束か調べ、収束するならば極限値を示せという問題なんですが
とりあえずlim[n→∞]　a[n]=∞と考えると
a[n]=13/4 - 1/2(a[n-1]-1) より
左辺=∞　右辺＝13/4
となって矛盾するので収束するだろうなということは分かったんですが、
その後収束値をどう出せばいいか分かりません。
どなたかご教授願います。

回答No.2

proto · ベストアンサー

最初に適当にエクセルでも使ってa[n]が3に収束しそうなことを確かめた上で証明を始めます。

まずa[n]の下限を示すところから。
a[n]>3のとき、
　2(a[n]-1) > 4
　1/(2(a[n]-1)) < 1/4
　-1/(2(a[n]-1)) > -1/4
　13/4 -1/(2(a[n]-1)) > 13/4 -1/4
　a[n+1] > 3
よってa[n]>3ならばa[n+1]>3が示された。
a[1]=5>3であるから、すなわち全てのnについてa[n]>3が云える。

次に単調減少を示します。
a[n]>a[n+1]のとき、
　2(a[n]-1) > 2(a[n+1]-1)
　1/(2(a[n]-1)) < 1/(2(a[n+1]-1))
　-1/(2(a[n]-1)) > -1/(2(a[n+1]-1))
　13/4 -1/(2(a[n]-1)) > 13/4 -1/(2(a[n+1]-1))
　a[n+1] > a[n+2]
よってa[n]>a[n+1]ならばa[n+1]>a[n+2]が示された。
a[1]=5,a[2]=25/8で、a[1]>a[2]であるから全てのnについてa[n]>a[n+1]、すなわちa[n]は単調減少であることが云える。

以上よりa[n]は単調減少で下限を持つから収束する。
証明終わり。

ここから具体的に収束値を求めます。
lim[n→∞]{a[n]}=xとすると、lim[n→∞]{a[n+1]}=xだから
　a[n] = (13a[n-1]-15)/4(a[n-1]-1)
　x = (13x-15)/4(x-1)
　4x^2-17x+15 = 0
　(x-3)(4x-5) = 0
　x= 3,5/4
先ほど示したようにa[n]>3であるからx≧3、よってx=5/4は不適。
以上より
　x = lim[n→∞]{a[n]} = 3
となる。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。助かりました。
ご教授いただきまして本当にありがとうございました。

回答No.3

R_Earl

a[n]=(13a[n-1]-15)/4(a[n-1]-1)の両辺から3を引き、
逆数をとれば、数列{ 1 / (a[n] - 3) }の一般項が求められるはずです。
それが分かれば、a[n]の一般項も求められます。
a[n]の一般項が求められれば、極限値も分かります。

お礼

簡潔で分かりやすいヒントを下さり、ありがとうございます。

回答No.1

koko_u_

>lim[n→∞]　a[n]=∞と考えると
「収束しない」ことが即ち ∞ に発散する(どんどん大きくなる)ことを意味するわけではありません。

お礼

そうでしたね。ご指摘ありがとうございます。