数３ 数列の極限

質問

数列の極限を解いてみたのですが、
(１)の途中式は合ってますか？

(１)lim　ｎ→∞　ｎ/（ｎ＋１）

lim　ｎ→∞　ｎ/（ｎ＋１）　←分母と分子にｎ/１をかけ、
＝１/（１＋１/ｎ）
＝１/（１＋０）
＝１

あと、(２)はなぜこうなるのでしょうか？

(２)lim　ｎ→∞　３/ｎ－√（ｎ^２－ｎ）　を求めよ

lim　ｎ→∞　３/{ｎ－√（ｎ^２－ｎ）}　←を有理化？し、
＝lim　ｎ→∞　３{ｎ＋√(ｎ^２－ｎ)}/ｎ　
↑で分母と分子にｎ/１をかけると思うのですが、
分子は３と{ｎ＋√(ｎ^２－ｎ)}の部分、
どちらにもかけるのではなく、
{ｎ＋√(ｎ^２－ｎ)}だけにかけるのはなぜですか？

教えていただけると有難いです。
よろしくお願いします。

回答No.2

kumipapa · ベストアンサー

（１）　正解
ただし、
n/1 → 1/n　　
「えぬぶんのいち」と読みながら打って、逆になっちゃったんだね、きっと。

（２）
＞　分子は３と{ｎ＋√(ｎ^２－ｎ)}の部分、どちらにもかけるのではなく、・・・
分子の３と{ｎ＋√(ｎ^２－ｎ)}の両方に(1/n)をかけたら、分子にはトータルで(1/n)^2 をかけたことになってしまうだろう。落ち着いて考えましょう。

お礼

お礼遅くなりました。
おかげさまで理解することが出来ました。
回答ありがとうございます。

回答No.1

proto

(1)はその回答で合っています。
ただ表記の間違いで、1÷nは1/nと書きます。
(分子)/(分母)という表記です。

(2)については、
まず、分子と分母に同じ数を掛けても変わらないというのが分数の性質ですよね。
　　3(n+√(n^2-n))/n = (3/n)((n+√(n^2-n))/n) / (n/n)
となるのではないか？と思われているなら、その分数の性質を勘違いしていますよ。

例えば
　　3/7 = (3*2)/(7*2)
ですが、
　　(3*5)/7 = (3*2 * 5*2)/(7*2)
ではないでしょう？
分子と分母にひとつずつ同じ数を掛けるのが正解ですよね。

または次のような理解も出来ます。
この問題の場合nに関係のない数や記号はlimの外に出せるので
　　lim[n→∞]{3(n+√(n^2-n))/n} = 3*lim[n→∞]{(n+√(n^2-n))/n}
このように変形すれば、ひとまず3は無視して計算をすすめていいことがわかるでしょう。

お礼

お礼遅れてしまいましたが、
おかげさまで理解することができました。
詳しく説明してくれてどうもありがとうございました。

補足

分子と分母にひとつずつ同じ数を掛けるのが正解なら、
3{n+√(n^2-n)}/n = (3/n){(n+√(n^2-n))/n} / (n/n)
は正しいのではないのでしょうか…？
いまいち理解することができていません。
すいません…；