この極限の問題の解説お願いします。（わかり次第締め切り）

質問

lim(n→∞)[4n/{√(n^2+2n)+n}] =2
となるようですがいまいちわかりません。
分子分母に1/n^2をかけて
lim(n→∞)[(4/n)/{√(1+2/n)+1/n}] =0/1=0
になってしまします。
どなたかわかりやすい解説をお願いします。

回答No.4

rei00 · ベストアンサー

rei00 です。補足拝見しました。

> るーとの中に1/nをかけるとき、1/n^2になおして計算
> でいいのでしょうか？？

　その通りです。「 n = √(n^2) 」ですから，「 1/n = √(1/n^2) 」です。

お礼

納得しました！
丁寧な回答ありがとうございました。
ちょくちょく質問するのでまたよろしくお願いします。

回答No.5

hinebot

締め切られていないということは、rei00さんの#4の回答をご覧になっても、まだ、納得されていないのでしょうか。

ちょっと、お節介ですが
> るーとの中に1/nをかけるとき、1/n^2になおして計算
をもう少し丁寧に説明しましょう。

a>0,b>0のとき
√a√b = √(ab)　です。
これを利用して
a√b の aを√の中に入れると
a√b =√(a^2)√b =√(a^2b)
と言う風に、２乗したものを中でかければいいわけです。
(1/n)^2 =1^2/n^2 = 1/n^2 ですから「 1/n = √(1/n^2) 」と
なる訳です。
※ちょっとくどすぎましたかね。（気分害されたなら謝ります。）

お礼

締め切りたかったのですが、メンテナスがどうたらこうたらとかでてしまいまして。
大変わかりやすい回答でした！
ルートの計算を忘れていたので大変助かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

rei00

rei00 です。

　ANo.#1 の回答の

　　「　= lim(n→∞)[4/{(1/n)√(n^2+2n)+n}] 　」

　は，タイプミスです。

　　「　= lim(n→∞)[4/{(1/n)(√(n^2+2n)+n)}] 　」

　に訂正して下さい。

回答No.2

ADEMU

4n/{√(n^2+2n)+nをｎでわると分子は４になります。
分母は√（（ｎ＾２＋２ｎ）／ｎ＾２）　　＋１になります。
ルートの中身は１＋２／ｎとなりｎが∞になると１となり
４／（１＋１）＝２
となります。

お礼

早速の回答ありがとうございました！

回答No.1

rei00

> 分子分母に1/n^2をかけて
　何故 1/n^2 なんでしょうか？　1/n ではいかがですか？

　分子分母に 1/n をかけると，

　　与式 = lim(n→∞)[4n/{√(n^2+2n)+n}]
　　　　 = lim(n→∞)[4/{(1/n)√(n^2+2n)+n}]
　　　　 = lim(n→∞)[4/{√(1+2/n)+1}]
　　　　 = 4/{√(1)+1}
　　　　 = 4/(1+1)
　　　　 = 2

　いかがでしょうか。

補足

早速の回答ありがとうございます。
分母に1/ｎかけて
√(1+2/n)
になるのがいまいちわかりません。
もしかして
√(1/n^2×n^2+1/n^2×2n)
でいいのでしょうか？
るーとの中に1/nをかけるとき、1/n^2になおして計算でいいのでしょうか？？
宜しくお願いします。