集合論についての質問

質問

松坂さんの『集合位相入門』からです。

p30によると、f:A→Bの写像として,ＰをＡの任意の部分集合とするとき。

f(P)={b|∃a∈P(f(a))=b)}

と表記できます。

一方QをBの任意の部分集合としたとき、
f-1(Q)={a|f(a)∈Q}と書かれています。

質問(1)
これをf-1(Q)={a|b∈Q.f(a)∈Q}と書くこともできますよね？
その場合、f(P)の場合のように、f-1(Q)={a|∃b∈Q.f(a)∈Q}と∃記号を使わなくていい理由を教えてください。

質問(2)
a){x|C_1(x)∨C_2(x)}={x|C_1(x)}∪{x|C_2(x)}
b){x|C_1(x)∧C_2(x)}={x|C_1(x)}∩{x|C_2(x)}
という関係は成り立ちますよね。

質問(3)
p31の定理3からです。
質問(2)の内容を認めたら、
(4.3)'は
f-1(Q1∩Q2)={a|f(a)∈Q1∩Q2}={a|f(a)∈Q1∧f(a)∈Q2}={a|f(a)∈Q1}∩{a|f(a)∈Q2}
=f-1(Q1)∩f-1(Q2)

となります。

同様にすると(4.3)も
f(P1∩P2)={b|∃a∈P1∩P2(f(a)=b)}={b|∃a∈P1(f(a)=b)∧∃a∈P2(f(a)=b)}
={b|∃a∈P1(f(a)=b)}∩{b|∃a∈P2(f(a)=b)}
=f(P1)∩f(P2)
という間違った結果が証明されてしまいます。

これは∃があるときとかが絡んでいるんでしょうがいまいちわからないです。

よろしくおねがいします。

回答No.9

Caper · ベストアンサー

● ANo.5 の [ お礼 ]欄 におけるご質問について。

1) {b| ∃a ∈ P_1∪P_2(f(a) = b)}
　 = {b| ∃a ∈ P_1(f(a) = b)∨∃a ∈ P_2(f(a) = b)}

　 この 1) という等式は成り立つと、私は思います。

● 特称命題 ( もしくは、存在命題 ) は、通常、∃x ∈ X(C(x)) などという形で表記されます。この表記を、下の添付画像における 2) という形に変更してみてはいかがでしょうか。これにより、見えにくいものが見えてくるようになれば、よろしいのですが … 。
　 ANo.7 における Tacosan さん と statistics_road さん とのやりとりを反映させたつもりです。

● 下の添付画像における 2) という表記法を採用したことにともない、上の 1) の左辺における 条件∃a ∈ P_1∪P_2(f(a) = b) を 3) という形に変更します。また、1) の右辺における 条件∃a ∈ P_1(f(a) = b)∨∃a ∈ P_2(f(a) = b) を 4) という形に変更します。

　 なお、4) では、a' という変数を新たに設けてみました。これは、変数の重複を避けるためです。

● 3) と 4) は同じであると、私には映ります。C が命題であるとき、C∨C ≡ C であるということを私は念頭におきながら、3) と 4) を見くらべています。3) と 4) は同じではないでしょうか。まちがっていましたら、ごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。頭の中がとてもすっきりしました！

回答No.8

Tacosan

それが理解できているなら, 質問文にある「これは∃があるときとかが絡んでいるんでしょうがいまいちわからないです。」というのは完全に解消された, ということでいいね? 説明もできますよね?

お礼

ありがとうございます。わかりました。

回答No.7

Tacosan

全称限量子, 存在限量子がそれぞれ本質的に論理積および論理和を意味することはわかりますか?

お礼

回答ありがとうございます。
∀x P(x)　がP(0)∧…∧P(n)
∃x P(x)　がP(0)∨…∨P(n)
という感じのことですよね？それならわかっていると思います。

回答No.6

Caper

ごめんなさい。訂正です。

　質問(3) に対します回答において。

　[ 誤 ]
　P_1∩P_2 が空集合であれば、1) の左辺は空集合となります。ところが、このとき、2) 右辺が空集合とならないことがあります。

　[ 正 ]
　P_1∩P_2 が空集合であれば、1) の左辺は空集合となります。ところが、このとき、1) の右辺が空集合とならないことがあります。

回答No.5

Caper

● 質問(3)

　 statistics_road さん は、次の 1) のとおりに記述なさいました。

1) {b| ∃a ∈ P_1∩P_2(f(a) = b)}
　 = {b| ∃a ∈ P_1(f(a) = b)∧∃a ∈ P_2(f(a) = b)}

　 この 1) という等式は、おそらく、特定の場合を除いて成り立たないと、私は思います。簡単な例を、以下に示します。

　 P_1∩P_2 が空集合であれば、1) の左辺は空集合となります。ところが、このとき、2) 右辺が空集合とならないことがあります。

　 P_1 = {1, 2, 3}
　 P_2 = {4, 5, 6}
　 f(a) = (a を 2 で割ったときのあまり)

　 このとき、1) の右辺は、{0, 1} であり、空集合ではありません。

● 質問(1)

　 f^(- 1)(Q) = {a| b ∈ Q, f(a) ∈ Q} と書くことはできないと、私は思います。

　 次の 2) 3) という各等式は成り立つと、私は思います。

2) f(P) = {b| ∃a ∈ P(f(a) = b)} = {b| ∃a ∈ P(a ∈ f^(- 1)(b))}
3) f^(- 1)(Q) = {a| f(a) ∈ Q} = {a| ∃b ∈ Q(f(a) = b)} = {a| ∃b ∈ Q(a ∈ f^(- 1)(b))}

　 [ 参考 ]
*　p. 26
　 V(Γ) = {b| ∃a ∈ A((a, b) ∈ G)}
*　http://okwave.jp/qa/q6960639.html
　 (a, b) ∈ G(Γ) と b ∈ Γ(a) とは同等である。
*　p. 26 (3. 2)
　 b ∈ Γ(a) ⇔ a ∈ Γ^(- 1)(b)

　 なお、f(P) = {b| ∃a ∈ P(f(a) = b)} と定義した場合、f(P) = {b| f^(- 1)(b) ∈ P} は、おそらく、特定の場合を除き、成り立たないでしょう。その理由として、まず第一に、f^(- 1)(b) は集合となる場合がありますから。
　 また、f(P) = {b| ∃a ∈ P(f(a) = b)} と定義した場合、f(P) = {b| f^(- 1)(b) ⊂ P} も成り立たないでしょう。

● これまで、もっともらしく私は記述してまいりました。その記述にまちがいがある場合は、ひらにひらにごめんなさい。

お礼

回答ありがとうございます。必ずしも成り立たないというのがわかりました。

{b| ∃a ∈ P_1∪P_2(f(a) = b)}
　 = {b| ∃a ∈ P_1(f(a) = b)∨∃a ∈ P_2(f(a) = b)}

↑のように∩が∪のときは成り立ちますよね。

回答No.4

alice_44

∃a∈P1∩P2 (f(a)=b) ⇔ ∃a1∈P1 (f(a1)=b) ∧ ∃a2∈P2 (f(a2)=b) ∧ a1=a2
ならよかろうが、 ∧ a1=a2 の部分があると、次の行へ変形できないね。

お礼

回答ありがとうございます。
そうすると次の行へ変形できないんですね…。

回答No.3

Tacosan

#1 に挙げた例でわからなかったのかなぁ....

#2 への「お礼」にある「存在するものとしてaに具体的なa_1というものを導入してからだと分割できますか？」の「存在するものとして」というのは, 「『何が』存在するもの」とするのですか?

お礼

回答ありがとうございます。
∃a∈P1∩P2 (f(a)=b)
このaにa_1を代入して
a_1∈P1∩P2 (f(a_1)=b) ⇔(a_1∈P1∧a_1∈P2) ,(f(a_1)=b)
⇔a_1∈P1,a_1∈P2,(f(a_1)=b) ⇔f(P1)∩f(P2)
という意図でした。

回答No.2

alice_44

p.31 とか、定理3 とか、その本を持ってないから何だかわからんが、
とりあえず、
∃a∈P1∩P2 (f(a)=b) ⇔ ∃a∈P1 (f(a)=b) ∧ ∃a∈P2 (f(a)=b)
ではないよね。
右節の二ヶ所の ∃a が、同じ a を表さなくてはいけないから
∧ で分割はできない。

お礼

回答、ありがとうございます。
存在するものとしてaに具体的なa_1というものを導入してからだと分割できますか？
そうしても結果が同じになりますが、結果は明らかに間違ってるんですよね・・・

回答No.1

Tacosan

順に:
(1) b に何の意味があるんですか?
(2) 成り立つ.
(3) 2つ目の「=」が成り立っていないわけだから, この間違いは「質問 (2) の内容」とは無関係. 「人間の中には 20歳以上の人もいるし 20歳未満の人もいる」けど, 「20歳以上でかつ 20歳未満の人」はいないでしょ?

お礼

回答ありがとうございます。
(1),(2)は理解しました。
(3)がいまいちわかりません…
∃の記号があるときは分離させられないってことですか？・・・