数学の集合について

質問

下記の問題があり、一応解答をしたのですが、自信がありません。
この答えであってるのでしょうか？
分かる方、教えてください。
fを集合Aから集合Bへの写像、A1、A2をAの部分集合とする。
f( A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)を証明せよ。
A1∪A2のBへの写像をB1とする。
B1= f( A1∪A2)
A1のBへの写像をB2とする。
B2= f(A1)
A2のBへの写像をB3とする。
B3= f(A2)
Aの異なる要素の写像は一致するため
B1= B2= B3
よって、f( A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)となる。

回答No.1

hismix · ベストアンサー

はじめまして。ではさっそく証明してみましょう
証明
集合論で等号を示すときは包含関係を考えます
・f( A1∪A2)⊂f(A1)∪f(A2)から示します
ｙ∈f( A1∪A2)を任意にとってくると
あるｘ∈A1∪A2があってｙ＝f(x)とかける
またｘ∈A1 or ｘ∈A2 のいずれかが成り立ちます
どちらでも同じなのでｘ∈A1として一般性を失わない
するとf(x)∈f(A1)
よってｙ＝f(x)∈f(A1)∪f(A2)よりOK

・f( A1∪A2)⊃f(A1)∪f(A2)を示します
ｙ∈f(A1)∪f(A2)を任意にとると
ｙ∈f(A1)としても一般性を失わない
あるｘ∈A1があってｙ＝f(x)とかける
ｘ∈A1からｘ∈A1∪A2が従います
よってf(ｘ)∈f(A1∪A2)

以上より
f( A1∪A2)=f(A1)∪f(A2)が示せました

それとあなたの解答はちょっとまずいです
まず気になったのが
＞A1∪A2のBへの写像をB1とする。
というのですが写像というのは値域の間違いですよね？
そう思ってよんでいっても
＞Aの異なる要素の写像は一致するため
＞B1= B2= B3
ここがちょっと説明不足です

また何かわからないことがあったら聞いてください

お礼

有難うございました。
本当に助かりました。これからも宜しくお願いします(^^ゞ