素朴集合論における対応について

質問

当方現在素朴集合論を勉強している学生です。

素朴集合論を松坂さんの『集合位相論』で学んでいるのですが、対応の概念でわからないことが発生しました。

対応Γというのは、集合Ａの任意の要素に対して、Ｂの部分集合を定めるような規則のことと理解しています。

ここで一つ目の疑問は、Γ(a)という集合を内包的記述でどう表すかということです。

また、食い違いがないように説明しておくと
内包的記述において、僕は以下のように理解しています。

{x|P(x)}　はP(x)が真となるようなすべてのxを要素ともつ集合。

それからもう一つの疑問は
p24の最後にあるように
b∈Γ(a)という記述があるのですが、Γ(a)というのはあるＢの部分集合です。
しかしbはＢの要素として定義されています。
これは必ずしも両立しえない気がします。
ここもおかしいと思うのです。

うまく質問の意図を伝えられたかどうかはわかりませんが、
どうかお答えお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

一点目：
「集合 A の任意の要素に対して、B の部分集合を定めるような規則」に Γ と名前をつけても、
Γ(a) は Γ(a) だというだけの話で、内包的も何も、他に記述のしようはありません。
Γ(a) = { x | P(x) } という形に書きたいのなら、P( ) にあたる何かが必要で、前もって
ソレに名前を与えておかなくてはならない。
例えば、集合 A, B の直積 A×B の部分集合 G をひとつ固定して、(a,b)∈G であることを
a と b の関係と考える。すると、写像 a → { b | (a,b)∈G } はひとつの「対応」を定めます。
この対応を Γ とするならば、Γ(a) = { b | (a,b)∈G } ということになる。
ただし、G に名前がついていないと、このような書き方はできません。

二点目：
Γ(a)⊂B で b∈B なのだから、b∈Γ(a) だったりなかったりして、特におかしいところは無い
ように思いますが？ 「両立しえない」というのは、どういう意味でしょうか。

お礼

解答ありがとうございます。
１点目についてはよくわかりました。ありがとうございます。

２点目についてなのですが、図で書かれていたのでよくわかりました。
ちょっと勘違いしていたみたいです。

あと、『集合位相入門』p24に書かれているのですが、

＞＞
G(Γ)={(a,b)|a∈A,b∈Γ(a)}
をΓのグラフという。
定義によってa∈A,b∈Bに対し
(a,b)∈G(Γ)とb∈Γ(a)とは同等である
したがって、Aの任意の限aに対して
Γ(a)={b|(a,b)∈G(Γ)}が成り立つ
＜＜
この部分の推論がいまいちわからないです。
よろしければ、この部分も教えていただきたいです。

考えてみたのですが、

＞「(a,b)∈G(Γ)とb∈Γ(a)とは同等である」
両方とも何らかの条件を表していて、それが同等であるということを示したければ、
一方が真ならもう一方も真、一方が偽ならもう一方も偽ということが成り立つことをいえばいいんですよね？

だとしたら、
⇒の証明
(a,b)∈G(Γ)　これを真と仮定
定義：G(Γ)={(a,b)|a∈A,b∈Γ(a)}より
G(Γ)の条件であるa∈A,b∈Γ(a)も真
よってb∈Γ(a)も真

逆の証明
b∈Γ(a)を真と仮定
前提から
a∈A
よってこれらふたつの条件が真であるということは
定義：G(Γ)={(a,b)|a∈A,b∈Γ(a)}より
(a,b)∈G(Γ)

このような理由で同等ってことでしょうか？

回答No.3

alice_44

←A No.1 補足質問
それでよいでしょう。

G = { (a,b) | a∈A, b∈Γ(a) }　と
Γ(a) = { b | (a,b)∈G }　が
同値であることが、
正しく証明できていると思います。

あとは、
Γ を使って G を定義するのか、
G を使って Γ を定義するのかの
順番を決めることですかね。

お礼

二度もありがとうございます。
順番を決めることって大切ですね。アドバイスありがとうございます。
また機会があれば回答お願いします。

回答No.2

Caper

● 1つ目 については、次のような自明の表記では、ダメでしょうか。

　 Γ(a) = {b| b ∈ Γ(a)} = {b| b は Γ(a) に含まれる}

　 それとも、もっと深入りして、次のような表記をお求めでしょうか。

　 Γ(a) = {b| b ∈ B, b ∈ Γ(a)} = {b| (b ∈ B)∧(b ∈ Γ(a))}

● ANo.1 [お礼]欄 における statistics_road さん の証明は正しいのではないかと、私は思います。

　 以下の証明は、あくまでも参考までにと、私が考えたものです。まわりくどく、まぬけなものかもしれません。

● P, Q, R, S はすべて命題を示す記号であるとします。

　 このとき、次の 合成命題 1) について考えます。

1) (P∧Q)→((P∧R)←→S)

　 この合成命題 1) は次の 合成命題 2) と同値になります。

2) (P∧Q)→(R←→S)

　 これらが同値であることを示すには、次の恒真命題を利用するなどすればよいと思われます。
　 (X→(Y∧Z))←→((X→Y)∧(X→Z))
　 (X→(Y→Z))←→((X∧Y)→Z)

● グラフについての定義より、

3) G(Γ) = {(a, b)| (a ∈ A)∧(b ∈ Γ(a))}

　 そして、次の 4) は自明の表記です。

4) G(Γ) = {(a, b)| (a, b) ∈ G(Γ)}

　 ですから、次の 5) が満たされます。

5) ((a ∈ A)∧(b ∈ Γ(a)))←→((a, b) ∈ G(Γ))

　 さきほど、5) が満たされると私は言いました。この 5) は 3) という定義そのものです。ですから、合成命題 5) は真になるわけです。

　 命題を示す記号 P, Q, R, S をそれぞれ次のとおりに置くことにします。

　 P = (a ∈ A)
　 Q = (b ∈ B)
　 R = (b ∈ Γ(a))
　 S = ((a, b) ∈ G(Γ))

　 このとき、合成命題 1) について考えます。この 1) における (P∧R)←→S は、5) に相当します。5) が真であるわけですから、合成命題 1) は真になります。1) と 2) は同値ですから、2) も真になります。

● 以上における私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。また、私の記述の中にわかりにくい個所・まちがいではないかと思われる個所がありましたら、[補足]機能 を利用するなどして、遠慮なくご指摘ください。

お礼

回答ありがとうございます。
Γ(a) = {b| b ∈ Γ(a)} = {b| b は Γ(a) に含まれる}
このような当たり前のことを前提として使ってよいかどうか迷ったのですがよかったんですね。ありがとうございます。よくわかりました！