写像についての質問

質問

ｆをＡからＢへの写像、ｈをＡからＣへの写像とする。

そのとき、ｈ=g・ｆとなるような写像ｇ：Ｂ->Ｃが存在するための必要十分条件は、

Ａの元a,a'に対し、ｆ（a）=ｆ（a'）ならばｈ（a）=ｈ（a'）

が成り立つことであることを示せ。

(集合位相入門/松坂和夫 p51 問14)

どのようにして証明すればいいのかわかりません。

お手数ですか、詳細な証明おねがいします。

回答No.12

noname#152422

これで最後です。
これ以上の回答は投稿しません。

> ＞(2)(1)の意味でCの元c’も対応するならばc'=cである。

このことをwell-definednessといいます。

> ＞gがBからCへの写像となるための条件は以下のものです：
>
> ＞(1)Bの任意の元bに対してCの元cが一つ対応する。
>
> ＞(2)(1)の意味でCの元c’も対応するならばc'=cである。

は、「写像gが定義される」ための必要十分条件です。

これは証明すべきことではなく、そういうのを写像というのだと無条件で受け入れなければなりません。

どうしても納得できない場合、うんうん唸って考えてください。
自分の頭で考える以外に理解する方法はありません。

お礼

長い間お付き合いいただき有難うございました。

回答No.11

Caper

● qyueen997 さん と osn3673 さん のこれまでのご回答を読む時間が、私にはありませんでした。まことに申しわけありません。

● 私からお伝えしたいことだけを、いくつか。

　 1つ前 の問題 13. については、巻末に解答が記載されています。それに似た形で、問題 14. が解けるのではないかと、私は思います。

　 用いる定理は、48ページ の 定理7 (b) ではないかと、私は思います。

　 写像f の 定義域A を縮小して、f ' という写像を新たに設けます。このとき、f ' が単射となるように、定義域A を縮小すればよいのではないかと、私は思います。それにともない、写像h ' も新たに設けます。

　 g・f = (h '・r)・(f '・k) = h '・(r・f ')・k = h '・k = h

　 上記における 写像r は 写像f の左逆写像です。写像k の定義のしかたには、ひとくふうが必要かもしれません ( 直積や、選出公理などを利用しなければならないかも … )。

● 以上の私の記述がまちがっていましたら、ひらにごめんなさい。

お礼

僕も48ページの定理7(b)利用して証明できるのではないかと思いましたので、記述してくださったこと

を参考に証明できるかどうか調べてみたいとおもいます。ありがとうございました。

回答No.10

noname#152422

> g(b) = {c} ではなくて
>
> g(b) = c と表記したかったのです。

たぶんまだ誤解されているような気がします。

「Ａの元a,a'に対し、ｆ（a）=ｆ（a'）ならばｈ（a）=ｈ（a'）」

というのは、無条件で常に「ｈ（a）=ｈ（a'）」が成り立つことを言っているのではなく、あくまで「ｆ（a）=ｆ（a'）」という前提条件があればそのときだけ「ｈ（a）=ｈ（a'）」ですよ、ということを言っているのです。

あなたが2番の補足に書いた

> つまり、
>
> Ｂの元b,b'に対してb = b'ならば　ｇ（b）=ｇ（b'）
>
> が成り立つということですよね。

は正しいです。

しかしこれは、「Bの元b,b'について必ずｇ（b）=ｇ（b'）となる」ことを意味してはいません。

わかりますか？まだもやもやしてる？

補足

僕がもやもやしているところは、gのwell-definednessが保証されることによって、なぜ写像g

が定義されるのかという一点です。gがwell-definednessかどうか調べるということはことは、NO5で

書かれた

＞gがBからCへの写像となるための条件は以下のものです：

＞(1)Bの任意の元bに対してCの元cが一つ対応する。

＞(2)(1)の意味でCの元c’も対応するならばc'=cである。

という条件をgが満たすかどうかを、調べてやればいいということなのですか？

回答No.9

osn3673

> わざわざ画像まで添付してくださって、ありがとうございます。
> 参考にさせていただきます。

> わざわざ画像まで添付してくださって、ありがとうございます。
> 参考にさせていただきます。

画像は小さ過ぎましたが，f(a) = f(a') で h(a) ≠ h(a') なら
g(f(a)) = g(f(a')) を決めようとしたときに困るということ
示しただけです．以下，ANo.3 について補足します．

(1)「任意の a, a' について f(a) = f(a') ならば h(a) = h(a')
　　である」が正しいときは「g が存在する」
　　N.B. g(f(a)) = h(a) と定めることができる．
(2)「任意の a, a' について f(a) = f(a') ならば h(a) = h(a')
　　である」が正しくないときは「g は存在しない」
　　N.B. g(f(a)) = h(a) とすると g(f(a')) ≠ h(a') <-- (4)参照
(3)「X であれば Y である」かつ「X でなければ Y でない」が
　　成立するとき，X と Y は同値．
(4)「任意の a, a' について f(a) = f(a') ならば h(a) = h(a')
　　である」の否定は「適当な a, a' が存在して，f(a) = f(a')
　　かつ h(a) ≠ h(a')」
　　N.B. 証明は記号論理学に関する説明を Web 等で探して下さい．

お礼

参考になりました。いろいろとありがとうございました。

回答No.8

osn3673

画像添付を試みていますが確認画面で表示されません．
勉強不足で申し訳ありませんが添付データにファイル名が
書かれているので送信します．

お礼

わざわざ画像まで添付してくださって、ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.7

noname#152422

> 何度もすみません。集合位相入門/松坂和夫では写像の条件は2番の補足のようになっているのですが…

その本は手元にありませんけれど、たぶんあなたが読み違えてます。

だって、2番の補足にあなたが書いた

> はＢのどの元bに対しても、そのgによる像ｇ（b）はＣの一つの元cから成る集合{c}
>
> となっている

というのは、gが定数関数であることを示してるわけですから。

あなたは写像はすべて定数関数だと理解しているのですか？

たとえば、y=xという一次関数やy=x^2という二次関数は写像ではないのですか？

補足

すみません、紛らわしい書き方だったようです。

NO6の方がご指摘下さったように、g(b) = {c} ではなくて

g(b) = c と表記したかったのです。誤解あたえてしまいすみませんでした。

回答No.6

osn3673

> gはＢのどの元bに対しても、そのgによる像ｇ（b）はＣの一つの元cから成る集合{c}
> となっていることを示している（gは写像である）という解釈でいいんですか？

「集合{c}となっている」という表現は紛らわしいかも知れません．
g(b) が {c} に対応していることは確かですが，g(b) = {c} ではなくて
g(b) = c です．

補足： 単に g : B → C といえば一意写像を意味し，多意写像の
ときは g : B → 2^C (2^C は C の部分集合の集合）という一意
写像として表現することが多いようです．

回答No.5

noname#152422

> ではなぜ、gのwell-definednessが保証されることによって、gが写像として
> とらえることができるのかよくわかりません。

2番の補足であなたが書いたのは、gの像が一点集合であるというものですが、それは間違っています。それはわかりますか？

gがBからCへの写像となるための条件は以下のものです：

(1)Bの任意の元bに対してCの元cが一つ対応する。

(2)(1)の意味でCの元c’も対応するならばc'=cである。

4番の回答をもう一度読んでみてください。

補足

＞2番の補足であなたが書いたのは、gの像が一点集合であるというものですが、それは間違っています。

＞それはわかりますか？

何度もすみません。集合位相入門/松坂和夫では写像の条件は2番の補足のようになっているのですが…

回答No.4

noname#152422

> gはＢのどの元bに対しても、そのgによる像ｇ（b）はＣの一つの元cから成る集合{c}
>
> となっていることを示している（gは写像である）という解釈でいいんですか？

いいえ、違います。

> Ｂの元b,b'に対してb = b'ならば

b∈Im(f)のとき、もちろんb'∈Im(f)なので、∃a,∃a':f(a)=b,f(a')=b'
ゆえにh(a)=h(a')、つまりf(a)=f(a')

b∈Im(f)でないとき、もちろんb'∈Im(f)でもないので、f(b)=cだしf(b')=c

いずれにしてもf(b)=f(b')

それと、逆（必要性）もわすれないでくださいね。

補足

ではなぜ、gのwell-definednessが保証されることによって、gが写像として

とらえることができるのかよくわかりません。

回答No.3

osn3673

f(a) = b, f(a') = b'
　h(a) = c, h(a') = c'
とします．

(1)「どのような a, a' についても b = b' ならば
　　c = c' である」とすると「g(b) = h(a)」と
　　定めればよい．
(2)「ある a, a' について b = b' かつ c ≠ c'
　　である」ときは「g(b) を定められない」

N.B. ￢(X ⇒ Y) ＝ ￢￢(X & ￢Y) ＝ X & ￢Y
N.B. ￢(∀x, Px) ＝ ∃x, ￢Px