集合論についての質問です。

質問

次の問題がわかりません。解答や、解くためのヒント、アドバイスよろしくお願いします<(_ _)>

Ａは可算集合でf:A→Bは写像とする。
f（Ａ）が無限集合ならば、f(A)は可算集合であることを示せ。

よろしくお願いします。

回答No.7

MagicianKuma · ベストアンサー

f:A→B　の　Aによるfの像がf(A)である、このf(A)をCとし、次の写像f'を考える
f':A→C このとき、任意のCの元y∈Cに対して、y=f'(x)　なるx∈Aが存在する。
よって写像f'は全射である。写像f'が全射　であれば、#C≦#A　(#は濃度を表す）が成り立つ。
題意より、#Cは無限濃度、一方#Aは可算濃度　可算濃度は最も小さい無限濃度なので、#C＝#A
ということなんだけど、もっと根源的（公理）にもどって証明するのかな？　以外に難しいねぇ。

お礼

一番わかりやすかったのでこの回答をベストアンサーにしました。
みなさんさまざまなアイディアありがとうございました<(_ _)>

回答No.8

tsukita

集合論が専門でないので、頼りないかもしれませんが…

一般に『写像』の定義から、
集合Aを写像で移したら、f(A)の濃度はAの濃度を超えません。

したがって、可算集合Aを写像で移したら、f(A)の濃度は
可算無限あるいはある自然数nに一致します。
ですが、f(A)は無限なので、f(A)の濃度は可算無限に限られます。

回答No.6

rinkun

Aは可算なのでN(自然数全体の集合)の中への単射がある。
x∈f(A)を取ると、f^-1(x)⊆Aは空でなく、異なるxでは交わらない集合になる。
各xについて、f^-1(x)の最小要素(Nへの単射を使って定義する)yを取ることができる。
このとき、対応g: x |-> y はf(A)からAの中への単射になる。
従って、f(A) -> g(f(A))は全単射で、g(f(A))⊆Aよりg(f(A))は可算なので、f(A)も可算。

回答No.5

noname#221368

以下はたぶん、#2さんと同じですが、少し見やすい（？）形で・・・。ただし、Ａは高々可算という意味に取りました

　y∈f(Ａ)に対して、その逆像をf^(-1)(y)と書きます（f^(-1)(y)⊂Ａです。念のため）。y1，y2∈f(Ａ)かつy1≠y2について、

　　・f^(-1)(y1)　∩　f^(-1)(y2)＝φ

は明らかです（写像の定義）。そうすると関係Ｒ、

　　・Ｒ：　f(x)＝f(y)（x，y∈Ａ）

は、Ａ上の同値関係であろうと、すぐ見当が付きます（すぐ示せます）。Ｒによるxの同値類をＣ(x)，ＲによるＡの商集合をＺとすると、

　　f＝j・h・i：　Ａ→Ｚ→f(Ａ)→Ｂ　（・は写像の合成）

　　　i：　x→C(x)　は全射　（x∈Ｘ，Ｃ(x)∈Ｚ）

　　　h：　C(x)→f(x)　は全単射　（f(x)∈f(Ａ)）

　　　j：　f(x)→y　は単射　（y＝f(x)∈Ｂ）

も、i，h，j　の定義より、ほぼ明らかです。

　hが全単射なので、Cardで集合の濃度を表せば、

　　・Card(f(Ａ))＝Card(Ｚ)　（濃度の定義）

です。さらに、i　が全射なので、

　　・Card(f(Ａ))＝Card(Ｚ)≦Card(Ａ)　（濃度の定義）

になります。従ってf(Ａ)の濃度は、可算無限以下。よってf(Ａ)が無限集合なら、可算無限と同濃度（任意の無限濃度は、可算無限以上でもあるから）。

　#2さんの方法は、f＝j・h・i　を、f(Ａ)の側からたどったような感じです。

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．１　だけども。

いや、何が言いたいか？

しまった、ＷＩＫＩ今消したよ、また引っ張ってこよう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E7%AE%97%E9%9B%86%E5%90%88

うん、だから何が聞きたいのかすら分からないのよ。

　σ(・・*)は代数だけどね。

Ａは　無限集合なわけでしょう？可算集合だから。

実際には無限じゃなくてもいいんだね。

ｆ　という写像を持ってきて、　可算集合のとある要素　ａ∈Ａ　こうしておこうか、

を　ｆ（ａ）＝ｂ　ｂ∈Ｂ　ってことだよね。

可算集合の要素だから、　ａ　は部分集合でもなんでもいいわけだよね。

でね、今問題では、

～～～～～

Ａが　無限集合　としてあるのと同じこと。

実際は　ｆ（Ａ）　が無限集合　としたあるね　十分条件ね。

これを　Ｂ　とおくと、　Ｂは当然可算集合だよね？

　＃無限集合なんだから。

ｆが介入しているだけで、特別なことは何もないと思うんだけど。
～～～～～

ｆが変な写像だったらいけないけど、何も書いていないからね～。

Ｎｏ．２さんがかいてあるけど、　one to one ですよ、

かなにか書いてないかな？ってことだけよ。

書いてないんだったら、　ｆ　は　全単斜です　としてしまえば、

至極当たり前のことじゃない？

質問がしてあるから、もう少し何かあるのかな？　と思ったんだけど、

何もないのなら、～～～～　で上に書いた部分で証明終わりでいいと思うけど？

連続体か何か？　難しく考えすぎじゃないかなぁ？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

σ(・・*)多分、今連続体なんて考えても、分からないと思うけど。

倒れた拍子にだいぶ落ちてるからね＾＾；

問題がこれだったら、何がしたいんだかさっぱり分からない

回答No.3

Tacosan

可算集合の部分集合は結局可算だと思うんだな.

回答No.2

tmpname

何かすっきりといい方法が思いつかない...

以下f(A) = Cとおく

Aの選択関数をΦとして（可算と分かっているのでここでは選択公理は
いらない）、
g: C->A を　g(y)=Φ(f^(-1)(y))とすれば、gはCからg(C)への全単射で、
g(C)はAの部分集合だから高々可算。
g(C) = Dとしてh: D->Cを h(x) = g^(-1)(x)で定めると
hはDからCへの全単射。

よって、以下を示せば良い。
「Dは高々可算で h:D→C はDからCへの全単射とする。
Cが無限集合ならば、Cは可算集合である」

Cは無限集合なので、（選択公理を使って）Cは可算集合を含む。
それをEとし、h^(-1)のEへの制限をjとし、jの像をFとする。
jはEからFへの全単射。FはDの部分集合で、しかもFは可算
（可算集合から有限集合への全単射は無い）。
よってDも可算であって（有限集合は可算集合を含めない）、
C=h(D)も可算である。

...もっとうまい方法希望..

回答No.1

B-juggler

ん？

どういうこと？

書き間違いかな？

ｆ（Ａ）　＝　Ｂ　集合だからイコール使うのがいいかどうかは

ちょっと今置いて置いてください。ｍ（＿　＿）ｍ

Ｂが無限集合なら、Ｂは可算集合？

ん？

何が聞きたいのかが分からない。。。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

私もあなたがなにいっているかさっぱりわかりません。