ベルンシュタインの定理の証明について（集合論 Wikipedia）

質問

集合の勉強をしているのですが、
ベルンシュタインの定理の証明が分からずに困っています。

参考書として「集合・位相入門　松坂和夫著」を使っているのですが
そこに載っている証明法が理解できず、ネットで調べてみた所、Wikipediaに簡単そうな証明法が出ていたので、とりあえずこちらから理解しよう思ったのですが、こちらもまた理解できずに困っています。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

理解できない箇所は２箇所で、
まず

h(x)=　　f(x) xがCの元の時
　　　　g-1(x) xがCの元でない時

の部分で、
f(x)とg-1(x)は同じもののような感じがするのですが、
どこが違うのかということです。

もう１箇所は

g-1(C)＝ｇ-1(C/C0)＝ｆ(C)

の部分です。

よろしくお願いします。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

ご要望にお応えして。

Ｂの部分集合ｆ（Ｃ）は、ｆによるＣの像ですが、
一方、ｆ（Ｃ）ってのは、f(c0)∪f(c1)∪f(c2)∪f(c3)∪....ですよね。
また、ｃ１って、ｇ（f(c0））でしたよね。
ってことは、f(c0）＝g-1（ｃ１）ですよね。
以下同様に、
f(c1)＝g-1（ｃ２）
f(c2)＝g-1（ｃ３）．．．なので、
ｆ（ｃ）＝f(c0)∪f(c1)∪f(c2)∪f(c3)∪....＝g-1（c1)∪g-1（c2)∪g-1(c3)∪....
　　　　＝g-1（Ｃ－ＣＯ）
となります。

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細かい説明は抜きにして、全体のお話をします。

Ａの元には、ｆでＢに行ってｇで帰ってきたとき、元に戻ってこないヤツが
います。

元に戻らないっていうのは、
ｘ≠ｇ（ｆ（ｘ））　な性質を持つやつです。

元に戻らないヤツらの代表として、ｇ(B)に含まれないヤツがいます。
だって、Ｂの像に入っていないから、帰ってくるとき元にもどれないんです。
こんな連中の集合がＡの部分集合Ｃ０です。

次に、Ｃ０の元は、ｆで、Ｂの中に行きますが、（ｆ（ＣＯ）です）この連中の
ｇでの戻り先は、Ｃ０ではないので、Ｃ１としましょう。
ＣＯとＣ１に共通部分はありません。ｇは単射だからです。

さらに次に、Ｃ１のｆでのＢの中の行き先（ｆ（Ｃ１）です）は、さっきのf(C0)と
共通な部分はありません。ｆが単射だからです。
で、この連中のｇでの戻り先を考え、これをＣ２とすると、Ｃ２は、Ｃ０やＣ１と
共通部分はありません。ｇが単射だからです。

以下、このように、Ｃｎを定義してその和集合をＣとしました。

ある元ｘがこのＣに含まれるってことは、その作り方から、
ｇ（ｆ（ｘ））⊂Ｃになります。（具体的には、x∈Ｃｎなら、g(f(x))∈Ｃ(n+1)）
一方、Ｃに含まれない元ｘには、ｇ-1を定義することができ、
（g-1を定義できないのは、C0の元だけだから）
しかも、その行き先は、f(c)にはなりません。

と、以上でｈが全単射てな感じです。いかがでしょうか？

お礼

度々丁寧な御回答どうもありがとうございます。

後半部分のご説明はとても分かりやすくて納得できました。

ですがまだ全体として掴みきれません。
少し疲れてきてしまい、頭の回転も悪くなってきてしまいました。

明日リベンジとしてもう一度じっくり考えてみます。

今日は大変丁寧な御回答、どうもありがとうございました。

回答No.1

funoe

ｆとｇの定義をよく思い出しましょう。そうすれ簡単な勘違いに気づくでしょう。

ｆは、ＡからＢへの単射、
ｇは、ＢからＡへの単射　で、それぞれ、単射でありさえすれば「勝手なもの」
でよいわけですね。

だから、決して、ｇ-1＝ｆなんてことは、前提にはなっていませんね。

ポイントは、
Ｃ０の元には、g-1が定義できないってことですね。
（C0は、ｇによるＢの像以外の元の集合ですね）
むしろ、ｇ-1が定義できないＡの元をC0と置いたというのが真相ですね。

後半の疑問も同じポイントがモトになっているとおもいます。

Ｃの元のうち、Ｃ０の元にはg-1が存在しませんから、Ｃのg-1の像は、もともとＣ－Ｃ０の元による
像と一致しています。

まえに、新井紀子氏の著書で、このh(x)の構成を、ダンスパーティでのパートナーチェンジ
に喩えて説明してるのを読んだことがあります。

手元にないので勘違いかもしれませんが、多分、
（ブルーバックス　数学にときめく　あの日の授業に戻れたら　著者： 新井紀子　編者： ムギ畑）
です。
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この定理は、実際に手を動かしてh(x)を構成すると目からうろこが落ちるように理解できると思います。

たとえば、
Ａ＝[0,1）
Ｂ＝[0,1］
として、
f(x)＝x/2
g(x)＝x/2　として、実際のh(x)を構成してみるのです。

お礼

丁寧な御解答、どうもありがとうございます。

必ずしもｇ-1＝ｆでないことが分かりました。

>Ｃの元のうち、Ｃ０の元にはg-1が存在しませんから、Ｃのg-1の像は、もともとＣ－Ｃ０の元による像と一致しています。

ここら辺もとてもよくわかりました。
ありがとうございます。

あとまだ分からないのは
g-1(C)＝ｇ-1(C/C0)＝ｆ(C)
の後半部の等号です。

g-1(C)＝ｇ-1(C/C0)
の成立は分かったのですが、
後半の
ｇ-1(C/C0)＝ｆ(C)の部分と
結果として
g-1(C)＝ｆ(C)
が成り立つという部分です。

ｇ-1＝ｆは必ずしも成り立たないのに
この場合は 結果としてg-1(C)＝ｆ(C)であることが証明できる。

ｇ-1＝ｆとなる条件がピンと来ず分かりません。

ここらへんをもう少しよろしくお願いします。