代数学

質問

こんにちは。以前もこちらで質問させていただきました。とても参考になる意見をいただき嬉しかったです。今回の質問は「Ｋを体とする。Ｋ｛ｘ｝の既約多項式は無限に多く存在するか？するなら証明せよ」です。素数が無限に多く存在することを証明するというのがヒントらしいのですが、どう解答すればよいのでしょうか？素数が無限である証明はできたのですが。。できればかなり噛み砕いておしえていただければと思います。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

多項式環 K[x] のつもりでしょうね。

素数が無限にあることの証明は、何通りもありますが、
一番素朴な「素数が有限個なら、その総積+1を考えてみよ」が
そのまま使えますよ。

既約多項式が有限個しか存在しなければ、
その全ての積+1 という多項式が作れます。
この多項式の因数分解を考えると、最大次数の既約多項式より高次の
多項式が作れてしまったことが解ります。 →背理法で完了。

お礼

返答が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。大変わかりやすい解答ありがとうございます！

回答No.1

uuu-chan

Ｋ｛ｘ｝て何ですか？

補足

ご指摘ありがとうございます。多項式環のつもりでした。。