代数の質問です。

質問

次のような問題があります。
Ｆ５[X]∋X3乗＋X+1は既約元であることを示せ。
（５は小さく表示されています）

そして生徒が授業で解いてた解答には次のように書いてありました。
X3乗をX^3と表わすこととします。
また、n＋5Ｚ∈Ｚ/5Ｚ＝F5について、[n]＝n＋5Ｚと表わすこととします。

p(X)＝X^3＋X＋1とし、既約元ではないと仮定します。
すると、p(X)は3次式だから、1次の因子を持ちます。
今、その1次の因子をXー[a]（[a]∈F5）とすると
p([a])＝0
ところが、
p([0])＝[0^3＋0＋1]＝[1]
p([1])＝[1^3＋1＋1]＝[3]
p([2])＝[2^3＋2＋1]＝[1]
p([3])＝[3^2＋3＋1]＝[3]
p([4])＝[4^2＋4＋1]＝[1]
だから、p([a])＝0となる[a]∈F5は存在しないから、矛盾する。

以上から、X^3＋X＋1∈F5[X]は既約元である。

しかしなぜp([3])とp([4])だけ２乗の計算になってるのかが分かりません。
n＋5Ｚ∈Ｚ/5Ｚ＝F5について、[n]＝n＋5Ｚもよく分からないのでできたら教えていただけないでしょうか？
勉強始めたばかりでまだ全然分からずに本当に申し訳ないです。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

> しかしなぜp([3])とp([4])だけ２乗の計算になってるのかが分かりません。

間違えたからです。

> n＋5Ｚ∈Ｚ/5Ｚ＝F5について、[n]＝n＋5Ｚもよく分からない

どこがわからないのですか？

n＋5Ｚ∈Ｚ/5Ｚ ？
Ｚ/5Ｚ＝F5 ？
[n]＝n＋5Ｚ ？

お礼

授業で分かりました！ありがとうございました！

補足

すみません。
[]の中身の数字の意味すら分からないのですが・・・

全部分かりません・・・。